将凸多面体的每一条棱染成红色或黄色,两边异色的面角称为奇异面角,某顶点 $A$ 处的奇异面角数称为给顶点的奇异度,并记为 $S_A$,证明存在两个顶点 $B,C$,使得 $S_B+S_C\leqslant 4$
【难度】
【出处】
【标注】
【答案】
【解析】
将凸面体的红色棱标上数 $1$,红色棱标上数 $0$,定义一个面角的度数等于该角的两边之和除以 $2$ 所得余数 $0$ 或者 $1$.于是,一个面角为奇异面角的充要条件是其度数为 $1$.任取一个顶点 $A$,由于计算 $A$ 处所有面角度数之和时,从 $A$ 出发的每条棱的标数都用了两次,从而 $A$ 处所有面角度数之和为偶数,于是顶点 $A$ 处的奇异度 $S_A$ 为偶数.同理可证,每一个面所包含奇异面角的个数也是偶数.
设凸多面体有 $v$ 个顶点 $A_1,A_2,\cdots,A_v$,有 $f$ 个面 $M_1,M_2,\cdots,M_f$ 和 $e$ 条棱.设面 $M_i$ 包含有 $e_i$ 条棱 $(i=1,2,\cdots,f)$,显然 $\sum_{i=1}^f{e_i=2e}$.由 $e_i\geqslant 3$,有 $M_i$ 上所含奇异面角数 $S_i$ 满足 $S_i\leqslant e_i\leqslant 2e_i -3$,并且由 $S_i$ 为偶数知这个不等式可加强为 $S_i\leqslant 2e_i -4$.
求和得 $\sum_{i=1}^f S_i\leqslant 2\sum_{i=1}^f e_i-4f=4(e-f)$.
由欧拉公式 $e-f=v-2$,于是有 $\sum_{i=1}^f S_i\leqslant 4v-8$.
但显然有 $\sum_{i=1}^v S_{A_k}=\sum_{i=1}^f S_i$,所以 $\sum_{k=1}^v S_{A_k}\leqslant 4v-8$.
又因为 $S_{A_1}$,$S_{A_2}$,$\cdots$,$S_{A_v}$ 均为偶数,故 $A_1,A_2,\cdots,A_v$ 中必有两个顶点(记为 $B,C$),使得 $S_B\leqslant 2,S_C\leqslant 2$.从而有 $S_B+S_C\leqslant 4$(否则 $S_{A_1}$,$S_{A_2}$,$\cdots$,$S_{A_v}$ 中至少有 $v-1$ 个不小于4,从而 $\sum_{k=1}^v S_{A_k}\geqslant 4(v-1)$,这与 $\sum_{k=1}^v S_{A_k}\geqslant 4v-8$ 矛盾).
答案 解析 备注
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