从区间 $\left( 0\text{,}75 \right)$ 独立均匀地随机取两个实数 $a\text{,}b$ 。平面上两点 $O,P$ 满足 $OP\text{=}200$ 。 $Q,R$ 在直线 $OP$ 同侧，使得 $\angle POQ\text{,}\angle POR$ 的角度分别为 $a,b$ 且 $\angle OQP,\angle ORP$ 均为直角。 $QR\leqslant 100$ 的概率为 $\frac{m}{n}$，其中 $m\text{,}n$ 为互质正整数。求 $m+n$
【难度】
【出处】
2017年第35届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
041
【解析】
注意到 $\angle OQP\text{,}\angle ORP$ 为直角，我们以 $OP$ 为直径作半圆使得 $Q,R$ 在半圆周上。因为半圆的半径为 $100$，如果 $QR\leqslant 100$，则其对应圆心角不超过 ${{60}^{{}^\circ}}$ 。则题目转化为 $0<a\text{,}b\text{}75$ 求 $\left| a-b \right|\leqslant 30$ 的概率。由其几何意义知 $P\text{=}\frac{16}{25}$，所求值为 $16+25\text{=}041$
答案
解析
备注
