$m\geqslant 2,Q\left( m \right)$ 是具有下述条件的最小的正整数：对 $n\geqslant Q\left( m \right)$，存在完全立方数 ${{k}^{3}}$ 满足 $n<{{k}^{3}}<m\cdot n$ 。求 $\displaystyle \sum\limits_{m\text{=}2}^{2017}{Q\left( m \right)}$ 模 $1000$ 的值
【难度】
【出处】
2017年第35届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
059
【解析】
注意到如下两个事实：
1．$\frac{{{\left(k+1 \right)}^{3}}}{{{k}^{3}}}$ 随 $k$ 增加而增加
2．如果 $\left(n \right.\text{,}\left. mn \right]$ 包含 $y$ 个完全立方数，则对任意 $p\in \left[ n\text{,}\left.+\infty \right) \right.\left(p\text{,}\left. mp \right] \right.$ 包含至少 $y-1$ 个完全立方数
$m\text{=}14$ 时，$\left( \left. 1\text{,}14 \right] \right.$ 包含有一个完全立方数，$\left( 2\text{,}\left. 28 \right] \right.$ 包含两个完全立方数。对 $m\text{}14$，$Q\left( m\right)\text{=}1$ 。于是 $\displaystyle \sum\limits_{m\text{=}2}^{2017}{Q\left( m\right)\text{=}\sum\limits_{m\text{=}2}^{17}{Q\left( m \right)+2000\cdot1\equiv \sum\limits_{m=2}^{17}{Q\left( m \right)\left( \bmod 1000 \right)}}}$ 。接下来对每个 $m$，我们只需先找出最小的 $n$ 使得 $\left(n \right.\text{,}\left. mn \right]$ 包含两个完全立方数，然后再逐次递减直到找到 $\left( n\right.\text{,}\left. mn \right]$ 使得其不含完全立方数。
$m\text{=}2$ 时，$\left( \left. n\text{,}2n \right] \right.$ 在当 $n\text{=}63$ 时有两个完全立方数。 $\left(\left. \text{31,62} \right] \right.$ 没有完全立方数，$\left( \left. \text{32,64}\right] \right.$ 有一个完全立方数，所以 $Q\left( 2 \right)\text{=}32$
$m\text{=}3$ 时，$\left( \left. n\text{,3}n \right] \right.$ 在当 $n\text{=}22$ 时有两个完全立方数。 $\left(\left. \text{8,}24 \right] \right.$ 没有完全立方数，$\left( \left. \text{9,}27 \right]\right.$ 有一个完全立方数，所以 $Q\left( 3 \right)\text{=}9$
$m\in \left\{ 4\text{,}5\text{,}6\text{,}7 \right\}$ 时，$\left(\left. n\text{,4}n \right] \right.$ 在当 $n\text{=7}$ 时有两个完全立方数。 $\left( \left.\text{1,4} \right] \right.$ 没有完全立方数，$\left( \left. \text{2,8} \right] \right.$ 有一个完全立方数，所以 $Q\left(4 \right)\text{=}9$，同理 $Q\left( 5 \right),Q\left( 6 \right)\text{,}Q\left( 7\right)\text{=}2$ 故此情况 $Q\left( m \right)$ 之和为 $8$
对于剩余的 $m$，$\left( \left. \text{1,8} \right] \right.\left( \left. \text{2,16} \right]\right.\left( \left. \text{3,24} \right] \right.$ 各有一个完全立方数，$\left( \left.\text{4,32} \right] \right.$ 有两个。于是 $Q\left( m \right)\text{=}1$，和为 $10$
故所求值为 $\displaystyle \sum\limits_{m\text{=}2}^{17}{Q\left(m \right)\text{=}32+9+8+10\text{=}059}$
1．$\frac{{{\left(k+1 \right)}^{3}}}{{{k}^{3}}}$ 随 $k$ 增加而增加
2．如果 $\left(n \right.\text{,}\left. mn \right]$ 包含 $y$ 个完全立方数，则对任意 $p\in \left[ n\text{,}\left.+\infty \right) \right.\left(p\text{,}\left. mp \right] \right.$ 包含至少 $y-1$ 个完全立方数
$m\text{=}14$ 时，$\left( \left. 1\text{,}14 \right] \right.$ 包含有一个完全立方数，$\left( 2\text{,}\left. 28 \right] \right.$ 包含两个完全立方数。对 $m\text{}14$，$Q\left( m\right)\text{=}1$ 。于是 $\displaystyle \sum\limits_{m\text{=}2}^{2017}{Q\left( m\right)\text{=}\sum\limits_{m\text{=}2}^{17}{Q\left( m \right)+2000\cdot1\equiv \sum\limits_{m=2}^{17}{Q\left( m \right)\left( \bmod 1000 \right)}}}$ 。接下来对每个 $m$，我们只需先找出最小的 $n$ 使得 $\left(n \right.\text{,}\left. mn \right]$ 包含两个完全立方数，然后再逐次递减直到找到 $\left( n\right.\text{,}\left. mn \right]$ 使得其不含完全立方数。
$m\text{=}2$ 时，$\left( \left. n\text{,}2n \right] \right.$ 在当 $n\text{=}63$ 时有两个完全立方数。 $\left(\left. \text{31,62} \right] \right.$ 没有完全立方数，$\left( \left. \text{32,64}\right] \right.$ 有一个完全立方数，所以 $Q\left( 2 \right)\text{=}32$
$m\text{=}3$ 时，$\left( \left. n\text{,3}n \right] \right.$ 在当 $n\text{=}22$ 时有两个完全立方数。 $\left(\left. \text{8,}24 \right] \right.$ 没有完全立方数，$\left( \left. \text{9,}27 \right]\right.$ 有一个完全立方数，所以 $Q\left( 3 \right)\text{=}9$
$m\in \left\{ 4\text{,}5\text{,}6\text{,}7 \right\}$ 时，$\left(\left. n\text{,4}n \right] \right.$ 在当 $n\text{=7}$ 时有两个完全立方数。 $\left( \left.\text{1,4} \right] \right.$ 没有完全立方数，$\left( \left. \text{2,8} \right] \right.$ 有一个完全立方数，所以 $Q\left(4 \right)\text{=}9$，同理 $Q\left( 5 \right),Q\left( 6 \right)\text{,}Q\left( 7\right)\text{=}2$ 故此情况 $Q\left( m \right)$ 之和为 $8$
对于剩余的 $m$，$\left( \left. \text{1,8} \right] \right.\left( \left. \text{2,16} \right]\right.\left( \left. \text{3,24} \right] \right.$ 各有一个完全立方数，$\left( \left.\text{4,32} \right] \right.$ 有两个。于是 $Q\left( m \right)\text{=}1$，和为 $10$
故所求值为 $\displaystyle \sum\limits_{m\text{=}2}^{17}{Q\left(m \right)\text{=}32+9+8+10\text{=}059}$
答案
解析
备注
