将 $1\text{,}2\text{,}\cdots \text{,}9$ 排成 $3\times 3$ 的形式。对每个排列方式，${{a}_{1}}\text{,}{{a}_{2}}\text{,}{{a}_{3}}$ 分别为 $1\text{,}2\text{,}3$ 行的中位数，$m$ 为 $\left\{ {{a}_{1}}\text{,}{{a}_{2}}\text{,}{{a}_{3}} \right\}$ 的中位数。 $Q$ 为满足 $m\text{=}5$ 的排列的个数。求 $Q$ 模 $1000$ 的值
【难度】
【出处】
2017年第35届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
360
【解析】
注意到 $m$ 可能值仅为 $4\text{,}5$ 和 $6$，且 $4\text{,}6$ 的情况是对称的。我们现在考虑 $m\text{=}4$ 的情况：$1\text{,}2$ 和 $3$ 恰有一个与 $4$ 同一行的概率为 $\frac{15}{28}$，剩下两个在同一行的概率为 $\frac{2}{5}$ 。故 $9\text{!}\left(1-2*\frac{15}{28}\text{*}\frac{\text{2}}{\text{5}} \right)\text{=207360}$，所求值为 $\text{360}$
答案
解析
备注
