$15$ 个不同的点在 $\Delta ABC$ 的边上：其中 $3$ 个为三角形的顶点 $A,B,C$，$3$ 个点在 $AB$ 上，$4$ 个在 $BC$ 上，$5$ 个在 $CA$ 上。求所有面积为正数的三角形的个数，其顶点在这 $15$ 个点中
【难度】
【出处】
2017年第35届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
390
【解析】
从 $15$ 个点任取出 $3$ 个作为三角形的顶点，共有 $\left(\begin{matrix}
15 \\
3 \\
\end{matrix} \right)\text{=}455$ 种方式。但其中有 $\left( \begin{matrix}5 \\
3 \\
\end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix}6 \\
3 \\
\end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix}7 \\
3 \\
\end{matrix}\right)\text{=}65$ 种三点共线的情况。故一共有 $455-65\text{=}390$ 种
15 \\
3 \\
\end{matrix} \right)\text{=}455$ 种方式。但其中有 $\left( \begin{matrix}5 \\
3 \\
\end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix}6 \\
3 \\
\end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix}7 \\
3 \\
\end{matrix}\right)\text{=}65$ 种三点共线的情况。故一共有 $455-65\text{=}390$ 种
答案
解析
备注
