一圆有一腰长为 $x$ 的内接等腰三角形。从圆周上独立均匀地随机取两点并连接两点做圆的一根弦。该弦与三角形相交的概率为 $\frac{14}{25}$ 。求 $x$ 最大值与最小值的差
【难度】
【出处】
2017年第35届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
048
【解析】
由题意，弦与三角形没有交点的概率为 $\frac{\text{11}}{\text{25}}$，而当且仅当弦的两端点均在三角形顶点构成的同一段劣弧上。于是有 $\text{2}{{\left(\frac{x}{180} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{180-2x}{180}\right)}^{2}}=\frac{11}{25}$ 。化简得到 ${{x}^{2}}-120x+3024\text{=}0\Rightarrow\left( x-84 \right)\left( x-36 \right)\text{=}0$ 。于是所求值为 $84-36\text{=}048$
答案
解析
备注
