三棱锥底面三角形三边长为 $20$，$20$ 和 $24$ 。与顶点相邻的三条棱的长度均为 $25$ 。该三棱锥的面积为 $m\sqrt{n}$，其中 $m\text{,}n$ 均为正整数，$n$ 不含平方因子。求 $m+n$
【难度】
【出处】
2017年第35届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
803
【解析】
设三角形 $\Delta ABC$ 底面为 $AB=24$ 。又因为 $AB$ 边的高为 $16$，故三角形 $ABC$ 面积为 $\left( 24*16 \right)/2\text{=}192$ 。设三棱锥另一顶点为 $P$，$AB$ 中点记为 $M$ 。因为 $PA=PB=PC$，所以 $P$ 在底面的投影为 $\Delta ABC$ 的外接圆圆心 $O$ 。 $OM+OC=CM=16$ 。设 $OM=d\text{,}d+\sqrt{{{d}^{2}}+144}\text{=}16$ 。平方后化简得到 $2d\left(d+\sqrt{{{d}^{2}}+144} \right)\text{=}112$ 。于是 $2d\cdot 16=112\Rightarrow d=\frac{7}{2},\sqrt{{{d}^{2}}+144}=\frac{25}{2}$ 。 设 $OP\text{=}h$，对 $\Delta AOP,\Delta BOP,\Delta COP$ 使用毕达哥拉斯定理得到 ${{25}^{2}}={{h}^{2}}+{{\left( 25/2\right)}^{2}}$ 。所以 $h\text{=}25\sqrt{3}/2$ 。 $V\text{=}\frac{1}{3}\cdot\frac{25\sqrt{3}}{2}\cdot 192=800\sqrt{3}\Rightarrow m+n=803$
答案
解析
备注
