${{a}_{10}}\text{=}10$，${{a}_{n}}\text{=}100{{a}_{n-1}}+n\left( n\text{}10 \right)$ 。求最小的 $n\left( n\text{10} \right)$ 使得 ${{a}_{n}}$ 是 $99$ 的倍数
【难度】
【出处】
2017年第35届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
045
【解析】
将 ${{a}_{n}}\text{,}{{a}_{n-1}}\text{,}\cdots{{a}_{10}}$ 的递推关系式相加得到 ${{a}_{n}}+{{a}_{n-1}}+\cdots {{a}_{10}}\text{=}100\left({{a}_{n-1}}+\cdots {{a}_{10}} \right)+n+\cdots +10$ 化简得到 ${{a}_{n}}\text{=}99\left({{a}_{n-1}}+\cdots +{{a}_{10}} \right)+\frac{1}{2}\left( n+10 \right)\left( n-9\right)$ 。所以 $\left. 99 \right|{{a}_{n}}\Leftrightarrow \left. 99\right|\frac{1}{2}\left( n+10 \right)\left( n-9 \right)$ 。若 $\left. 11\right|n+10$，通过枚举法可知 $n\text{=}45$ 是该类情况最小值。若 $\left. 11 \right|n-9$，通过枚举法可知 $n\text{=}53$ 为该类情况最小值。故所求值为 $045$
答案
解析
备注
