一有理数 $8$ 进制下具有形式 $\underline{ab}\text{.}\underline{cd}$，其中每个数字都非零。该有理数在 $12$ 进制下具有形式 $\underline{bb}\text{.}\underline{ba}$ 。求十进制下的数 $\underline{abc}$
【难度】
【出处】
2017年第35届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
321
【解析】
$\begin{matrix}
\text{1}{{\text{1}}_{\text{12}}}\text{=1}{{\text{5}}_{\text{8}}} \\
\text{2}{{\text{2}}_{\text{12}}}\text{=3}{{\text{2}}_{\text{8}}} \\
\text{3}{{\text{3}}_{\text{12}}}\text{=4}{{\text{7}}_{\text{8}}} \\
\text{4}{{\text{4}}_{\text{12}}}\text{=6}{{\text{4}}_{\text{8}}}\\
\text{5}{{\text{5}}_{\text{12}}}\text{=10}{{\text{1}}_{\text{8}}} \\
\end{matrix}$，则根据条件 $b=2,4$ 。分析小数点右边的两位得到 $\text{22}\text{.2}{{\text{3}}_{\text{12}}}\text{44}\text{.4}{{\text{6}}_{\text{12}}}$，其对应八进制数为 $\text{32}\text{.1}{{\text{4}}_{\text{8}}},\text{64}\text{.3}{{\text{0}}_{\text{8}}}$ 。因为 $d\ne0$，所以题中的八进制数为 $\text{32}\text{.1}{{\text{4}}_{\text{8}}}$，故所求值为 $3\text{21}$
\text{1}{{\text{1}}_{\text{12}}}\text{=1}{{\text{5}}_{\text{8}}} \\
\text{2}{{\text{2}}_{\text{12}}}\text{=3}{{\text{2}}_{\text{8}}} \\
\text{3}{{\text{3}}_{\text{12}}}\text{=4}{{\text{7}}_{\text{8}}} \\
\text{4}{{\text{4}}_{\text{12}}}\text{=6}{{\text{4}}_{\text{8}}}\\
\text{5}{{\text{5}}_{\text{12}}}\text{=10}{{\text{1}}_{\text{8}}} \\
\end{matrix}$，则根据条件 $b=2,4$ 。分析小数点右边的两位得到 $\text{22}\text{.2}{{\text{3}}_{\text{12}}}\text{44}\text{.4}{{\text{6}}_{\text{12}}}$，其对应八进制数为 $\text{32}\text{.1}{{\text{4}}_{\text{8}}},\text{64}\text{.3}{{\text{0}}_{\text{8}}}$ 。因为 $d\ne0$，所以题中的八进制数为 $\text{32}\text{.1}{{\text{4}}_{\text{8}}}$，故所求值为 $3\text{21}$
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