在 $\Delta ABC$ 中，$AB\text{=}40,AC=31,sinA\text{=}\frac{1}{5}$ 。该三角形内接于矩形 $AQRS$，并且 $B$ 在 $QR$ 上，$C$ 在 $RS$ 上。求矩形 $AQRS$ 面积的最大值
【难度】
【出处】
2016年第34届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
744
【解析】
不难发现 $A$ 应为锐角。设 $\angle CAS\text{=}n\text{,}\angle BAQ\text{=}m$ 。则 $AS\text{=}31\cos \left( n \right)\text{,}AQ\text{=}40\cos \left( m\right)\Rightarrow \left[ AQRS \right]\text{=}1240\cos \left( m \right)\cos\left( n \right)$ 。因为 $\cos\left( m \right)\cos \left( n \right)\text{=}\frac{1}{2}\left( \cos \left( m+n\right)+\cos \left( m-n \right) \right)$ 。而 $\cos \left( m+n \right)\text{=}\sin A\text{=}\frac{1}{5}$，$\cos \left( m-n \right)$ 最大值为 $1$，当 $m\text{=}n$ 时取到。于是矩形 $AQRS$ 面积最大值为 $1240\cdot\frac{1}{2}\cdot \left( \frac{1}{5}+1 \right)=744$
答案
解析
备注
