能否将正整数集合 ${{\mathbb{N}}_{+}}$ 分划为两个不想交的集合 $A$ 和 $B$，满足：
（1）$A$ 中任意三个数不成等差数列；
（2）不能由 $B$ 中元素组成一个非常数的无穷等差数列。
（1）$A$ 中任意三个数不成等差数列；
（2）不能由 $B$ 中元素组成一个非常数的无穷等差数列。
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
将首项为 $a$，公差为 $d$ 的无穷等差数列用 $(a,d)$ 表示。易将所有正整数无穷等差数列（非常数列）“排序”如下：先看 $a+d$ 的大小，小者排前，$a+d$ 相等的，$a$ 较小的排前，按下列方式构造数列 ${{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},\cdots $ 。设 ${{a}_{1}}=1$，如 ${{a}_{1}},{{a}_{2}},\cdots ,{{a}_{n}}$ 已取出，则在第 $n+1$ 个等差数列中取大于 $2{{a}_{n}}$ 的某一项 ${{a}_{n+1}}$ 。
令 $A=\{{{a}_{1}},{{a}_{2}},\cdots,{{a}_{n}},\cdots \}$，则因 ${{a}_{n+1}}>2{{a}_{n}}(n=1,2,\cdots )$，故 $A$ 中任何三个数不成等差数列，再令 $B={{N}_{+}}\backslash A$，则因为任何正整数的非常数列的无穷等差数列都有一项属于 $A$，故 $B$ 中没有非常数列的无穷等差数列。于是存在满足题目条件的集合 $A$ 和 $B$ 。
令 $A=\{{{a}_{1}},{{a}_{2}},\cdots,{{a}_{n}},\cdots \}$，则因 ${{a}_{n+1}}>2{{a}_{n}}(n=1,2,\cdots )$，故 $A$ 中任何三个数不成等差数列，再令 $B={{N}_{+}}\backslash A$，则因为任何正整数的非常数列的无穷等差数列都有一项属于 $A$，故 $B$ 中没有非常数列的无穷等差数列。于是存在满足题目条件的集合 $A$ 和 $B$ 。
答案
解析
备注
