无

略

首先证明满足条件（1）的制片存在。事实上，取2000张直径为1的纸片，使每张纸片的中心恰在给出的一个点上，于是这2000张纸片盖住了2000个已知点，且这些纸片直径之和为2000．
其次，若这些纸片中有两张有公共点，则进行一次调整。如图可用一张直径较大的图形纸片 ${{O}_{3}}$ 代替圆 ${{O}_{1}}$ 和圆 ${{O}_{2}}$，满足 ${{O}_{3}}$ 在直线 ${{O}_{1}}{{O}_{2}}$ 上且圆 ${{O}_{1}}$ 和圆 ${{O}_{2}}$ 都内切与圆 ${{O}_{3}}$，显然圆 ${{O}_{3}}$ 的直径不大于圆 ${{O}_{1}}$ 和圆 ${{O}_{2}}$ 的直径之和，并且圆 ${{O}_{3}}$ 所包含的已知点到圆 ${{O}_{3}}$ 周界的距离不小于 $\dfrac{1}{2}$ 。如果还有两张纸片有公共点，可以继续进行这样的调整，于是经过有限步可用有限张直径之和不大于2000且两两无公共点的圆形纸片盖住已知的2000个点，并且每个已知点到覆盖它的纸片周界的距离不小于 $\dfrac{1}{2}$ 。设这些圆形纸片每两张之间的距离的最小值为 $d$，则 $d>0$ 。
最后，若 $d>1$，则结论成立，若 $0<d\leqslant 1$，则再进行如下调整：每张纸片用圆心相同，但半径缩小 $\dfrac{1}{2}-\dfrac{d}{3}$ 的纸片代替，则这些新纸片仍盖住了已知的2000个点，它们的直径之和小于2000且任意两张圆形纸片的距离至少为 $d+2\left( \dfrac{1}{2}-\dfrac{d}{3}\right)=1+\dfrac{d}{3}>1$，于是题目结论得证。