对 $1\text{,}2\text{,}\cdots \text{,9}$ 的一重排列 $p\text{=}\left( {{a}_{1}}\text{,}{{a}_{2}}\text{,}\cdots \text{,}{{a}_{9}} \right)$，令 $s\left( p \right)$ 为三位数 $\overline{{{a}_{1}}{{a}_{2}}{{a}_{3}}},\overline{{{a}_{4}}{{a}_{5}}{{a}_{6}}}\text{,}\overline{{{a}_{7}}{{a}_{8}}{{a}_{9}}}$ 之和。 $m$ 为个位数字为 $0$ 的 $s\left( p \right)$ 的最小值。 $n$ 为满足 $s\left( p \right)\text{=}m$ 的排列 $p$ 的个数。求 $\left| m-n \right|$
【难度】
【出处】
2016年第34届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
162
【解析】
欲使 $s\left(p \right)$ 最小，则 $\left\{ {{a}_{1}},{{a}_{4}}\text{,}{{a}_{7}}\right\}\text{=}\left\{ 1\text{,}2\text{,}3 \right\}$ 。此时 $\begin{matrix}
s\left( p \right)\text{=}100\left({{a}_{1}}+{{a}_{4}}+{{a}_{7}} \right)+10\left( {{a}_{2}}+{{a}_{5}}+{{a}_{8}}\right)+\left( {{a}_{3}}+{{a}_{6}}+{{a}_{9}} \right) \\
\text{=}100\left( 1+2+3 \right)+10\left[39-\left( {{a}_{3}}+{{a}_{6}}+{{a}_{9}} \right) \right]+\left({{a}_{3}}+{{a}_{6}}+{{a}_{9}} \right) \\
\text{=}990-9\left({{a}_{3}}+{{a}_{6}}+{{a}_{9}} \right) \\
\end{matrix}$ 因为 $\left. 10\right|{{a}_{3}}+{{a}_{6}}+{{a}_{9}}\text{,}{{a}_{3}}+{{a}_{6}}+{{a}_{9}}\le7+8+9=24$，所以 $s\left( p \right)$ 最小值为 $m\text{=}990-9\times 20\text{=}810$，${{a}_{3}}+{{a}_{6}}+{{a}_{9}}\text{=}20$ 。此时 $\left\{{{a}_{3}}\text{,}{{a}_{6}}\text{,}{{a}_{9}} \right\}\text{=}\left\{9\text{,}7\text{,4} \right\}\left\{ 9\text{,}6\text{,}5 \right\}\left\{8\text{,}7\text{,}5 \right\}$，故 $n\text{=}\left( \begin{matrix}3 \\
1 \\
\end{matrix}\right)\cdot {{\left( 3! \right)}^{3}}=648$ 。 $\left| m-n \right|=810-648=162$
s\left( p \right)\text{=}100\left({{a}_{1}}+{{a}_{4}}+{{a}_{7}} \right)+10\left( {{a}_{2}}+{{a}_{5}}+{{a}_{8}}\right)+\left( {{a}_{3}}+{{a}_{6}}+{{a}_{9}} \right) \\
\text{=}100\left( 1+2+3 \right)+10\left[39-\left( {{a}_{3}}+{{a}_{6}}+{{a}_{9}} \right) \right]+\left({{a}_{3}}+{{a}_{6}}+{{a}_{9}} \right) \\
\text{=}990-9\left({{a}_{3}}+{{a}_{6}}+{{a}_{9}} \right) \\
\end{matrix}$ 因为 $\left. 10\right|{{a}_{3}}+{{a}_{6}}+{{a}_{9}}\text{,}{{a}_{3}}+{{a}_{6}}+{{a}_{9}}\le7+8+9=24$，所以 $s\left( p \right)$ 最小值为 $m\text{=}990-9\times 20\text{=}810$，${{a}_{3}}+{{a}_{6}}+{{a}_{9}}\text{=}20$ 。此时 $\left\{{{a}_{3}}\text{,}{{a}_{6}}\text{,}{{a}_{9}} \right\}\text{=}\left\{9\text{,}7\text{,4} \right\}\left\{ 9\text{,}6\text{,}5 \right\}\left\{8\text{,}7\text{,}5 \right\}$，故 $n\text{=}\left( \begin{matrix}3 \\
1 \\
\end{matrix}\right)\cdot {{\left( 3! \right)}^{3}}=648$ 。 $\left| m-n \right|=810-648=162$
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