求最小的正整数 $m$，使得 ${{m}^{2}}-m+11$ 是至少四个质数（可以相同）的乘积
【难度】
【出处】
2016年第34届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
132
【解析】
因为 $\begin{matrix}
& 1\times 2+11\text{=}13 \\
& 2\times 3+11\text{=}17 \\
& 3\times 4+11\text{=}23 \\
& 4\times 5+11\text{=}31 \\
& 5\times 6+11\text{=}41 \\
& 6\times 7+11\text{=}53 \\
& 7\times 8+11\text{=}67 \\
& 8\times 9+11\text{=}83 \\
& 9\times 10+11\text{=}101 \\
\end{matrix}$ 均为质数，所以 ${{m}^{2}}-m+11\text{=}m\left(m-1 \right)+11$ 仅包含大于等于 $11$ 的质因子。设 ${{m}^{2}}-m+11\text{=}pqrs$，$p\text{,}q\text{,}r\text{,}s$ 为质数。若 $p\text{,}q\text{,}r\text{,}s\text{=}11$，则 ${{\left(2m-1 \right)}^{2}}\text{=4}\cdot \text{1}{{\text{1}}^{4}}-43\text{=}{{\left(2\cdot {{11}^{2}} \right)}^{2}}-43$ 。而显然等式右边不是完全平方数，所以 $pqrs\geqslant {{11}^{3}}\cdot13$ 。代入得到 $m\text{=}132\text{,}{{m}^{2}}\text{-}m+11\text{=}{{11}^{3}}\cdot 13$ 。所求值为 $\text{132}$
& 1\times 2+11\text{=}13 \\
& 2\times 3+11\text{=}17 \\
& 3\times 4+11\text{=}23 \\
& 4\times 5+11\text{=}31 \\
& 5\times 6+11\text{=}41 \\
& 6\times 7+11\text{=}53 \\
& 7\times 8+11\text{=}67 \\
& 8\times 9+11\text{=}83 \\
& 9\times 10+11\text{=}101 \\
\end{matrix}$ 均为质数，所以 ${{m}^{2}}-m+11\text{=}m\left(m-1 \right)+11$ 仅包含大于等于 $11$ 的质因子。设 ${{m}^{2}}-m+11\text{=}pqrs$，$p\text{,}q\text{,}r\text{,}s$ 为质数。若 $p\text{,}q\text{,}r\text{,}s\text{=}11$，则 ${{\left(2m-1 \right)}^{2}}\text{=4}\cdot \text{1}{{\text{1}}^{4}}-43\text{=}{{\left(2\cdot {{11}^{2}} \right)}^{2}}-43$ 。而显然等式右边不是完全平方数，所以 $pqrs\geqslant {{11}^{3}}\cdot13$ 。代入得到 $m\text{=}132\text{,}{{m}^{2}}\text{-}m+11\text{=}{{11}^{3}}\cdot 13$ 。所求值为 $\text{132}$
答案
解析
备注
