非零多项式 $P\left( x \right)$ 满足对任意实数 $x$，$\left( x-1 \right)P\left( x+1 \right)\text{=}\left( x+2 \right)P\left( x \right)$ 且 ${{\left( P\left( 2 \right) \right)}^{2}}\text{=}P\left( 3 \right)$ 。那么 $P\left( \frac{7}{2} \right)=\frac{m}{n}$，其中 $m\text{,}n$ 为互质正整数。求 $m+n$
【难度】
【出处】
2016年第34届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
109
【解析】
令 $x\text{=}1$，则 $\left(1-1 \right)P\left( 1+1 \right)\text{=}\left( 1+2 \right)P\left( 1\right)\Rightarrow P\left( 1 \right)\text{=}0$；令 $x\text{=}-2$，则 $\left(-2-1 \right)P\left( -2+1 \right)\text{=}\left( -2+2 \right)P\left( -2\right)\Rightarrow P\left( -1 \right)\text{=}0$；令 $x\text{=}-1$，则 $\left(-1-1 \right)P\left( -1+1 \right)\text{=}\left( -1+2 \right)P\left( -1\right)\Rightarrow P\left( 0 \right)\text{=}0$；因为 $P\left( x\right)$ 为非零多项式，所以 $\left. \left( x-1 \right)x\left( x+1 \right) \right|P\left( x\right)\Rightarrow P\left( x \right)\text{=}\left( x-1 \right)x\left( x+1\right)Q\left( x \right)$，$Q\left( x \right)$ 为非零多项式。则原等式可转化为 $\left( x-1\right)x\left( x+1 \right)\left( x+2 \right)Q\left( x+1 \right)\text{=}\left(x-1 \right)x\left( x+1 \right)\left( x+2 \right)Q\left( x \right)\Rightarrow Q\left( x+1 \right)\text{=}Q\left( x \right)$ 。所以 $Q\left( x\right)\text{=}c\text{,}c\ne 0$ 。因为 ${{\left[ P\left( 2 \right)\right]}^{2}}=P\left( 3 \right)$，所以 $c\text{=}\frac{2}{3}$ 。 $P\left( \frac{7}{2}\right)\text{=}\frac{2}{3}\cdot \frac{5}{2}\cdot \frac{7}{2}\cdot\frac{9}{2}=\frac{105}{4}\Rightarrow m+n=109$
答案
解析
备注
