正二十面体每个面均为正三角形，每个顶点有 $5$ 个正三角形面交于此。该正二十面体如下图摆放，与最顶端顶点相邻的五个顶点构成的五棱柱的底面和与最下端顶点相邻的五个顶点构成的五棱柱的底面均与地面平行。求从顶端顶点到底部顶点的路径数，满足该路径上每一小段（即从正二十面体的一条棱）要么向下要么水平且没有经过重复顶点。
【难度】
【出处】
2016年第34届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
810
【解析】
我们从顶部顶点一层一层考虑。从顶部的顶点出发可到达第二层的 $5$ 个顶点的任一个。从第二层的顶点出发，在离开第二层到第三层之间有 $9$ 种可能路径，即正或逆时针水平走 $1\text{,}2\text{,}3\text{,}4$ 步，或者水平走 $0$ 步。离开第二层时，可选择的落点有 $2$ 个。在第三层的任一点出发，在同层内与也有 $9$ 种可能的路径。于是一共有 $5\cdot9\cdot 2\cdot 9\cdot 1\text{=}810$ 种
答案
解析
备注
