能否在城市中开设 $10$ 条公共汽车路线，使得其中任何 $8$ 条线路，都至少有一个车站不在其中任何一条线路上，而对任何 $9$ 条线路，则连通城市的所有车站．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
为表述方便，记该城市中车站的数目为n，并记这n个车站分别为 ${{S}_{\text{1}}},{{S}_{2}},...,{{S}_{n}}$，并假设存在某种开设线路的方案，则记10条线路分别为 ${{L}_{\text{1}}},{{L}_{2}},...,{{L}_{10}}$
依题意，“任何8条线路，至少有一个车站不在其中”等价于“任何两条线路，都至少有一个车站，只有这两条线路经过该站，而其他8条线路均不经过该站”，“任何9条线路，联通城市的所有车站”等价于“任何一个车站，都至少有两条线路经过”，因此车站数n的最小值为 $C_{10}^{2}=45$
另一方面，当 $n=45$ 时，为表述方便，记 ${{S}_{m}}=(p,q)$ 表示线路 ${{L}_{p}},{{L}_{q}}$ 经过车站 ${{S}_{m}}$，而其他线路不经过车站 ${{S}_{m}}$，其中 $1\leqslant m\leqslant 45$ 且 $1\leqslant p,q\leqslant 10$，则当按如下方式安排线路
$\begin{align}
&{{S}_{1}}=(1,2),{{S}_{2}}=(1,3),...,{{S}_{9}}=(1,10), \\
&{{S}_{10}}=(2,3),{{S}_{11}}=(2,4),...,{{S}_{17}}=(2,10), \\
& ... \\
& {{S}_{45}}=(9,10) \\
\end{align}$
时，刚好符合“任何两条线路，都至少有一个车站，只有这两条线路经过该站，而其他8条线路均不经过该站”及“任何一个车站，都至少有两条线路经过”，即存在满足要求的开设线路方案．
依题意，“任何8条线路，至少有一个车站不在其中”等价于“任何两条线路，都至少有一个车站，只有这两条线路经过该站，而其他8条线路均不经过该站”，“任何9条线路，联通城市的所有车站”等价于“任何一个车站，都至少有两条线路经过”，因此车站数n的最小值为 $C_{10}^{2}=45$
另一方面，当 $n=45$ 时，为表述方便，记 ${{S}_{m}}=(p,q)$ 表示线路 ${{L}_{p}},{{L}_{q}}$ 经过车站 ${{S}_{m}}$，而其他线路不经过车站 ${{S}_{m}}$，其中 $1\leqslant m\leqslant 45$ 且 $1\leqslant p,q\leqslant 10$，则当按如下方式安排线路
$\begin{align}
&{{S}_{1}}=(1,2),{{S}_{2}}=(1,3),...,{{S}_{9}}=(1,10), \\
&{{S}_{10}}=(2,3),{{S}_{11}}=(2,4),...,{{S}_{17}}=(2,10), \\
& ... \\
& {{S}_{45}}=(9,10) \\
\end{align}$
时，刚好符合“任何两条线路，都至少有一个车站，只有这两条线路经过该站，而其他8条线路均不经过该站”及“任何一个车站，都至少有两条线路经过”，即存在满足要求的开设线路方案．
答案
解析
备注
