（1）可将集合 $M = {1,2,3,…,n}$ 划分为 $2$ 个子集 $A,B$，使得同一个子集中任何两个数的和都不是完全平方数，求 $n$ 的最大值．
（2）在 $6\times6$ 的正方形网格中，把部分小方格涂成红色．然后任意划掉3行和3列，使得剩下的小方格中至少有 $1$ 个是红色的．那么，总共至少要涂红多少小方格？
（2）在 $6\times6$ 的正方形网格中，把部分小方格涂成红色．然后任意划掉3行和3列，使得剩下的小方格中至少有 $1$ 个是红色的．那么，总共至少要涂红多少小方格？
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
（1）当 $n=15$ 时，按上述要求划分子集 $A,B$，不妨记 $1\in A$，从而 $3\notin A,15\notin A$，即 $3\in B,15\in B$；再由 $3\in B$ 得，$6\notin B$，即 $6\in A$；再考虑 $6+10=16$ 及 $15+10=25$，而 $6\in A,15\in B$，故无论10在 $A,B$ 哪个集合中，10必与6或15在同一个集合，不满足要求；
另一方面，当 $n=14$ 时，可划分子集 $A=\{1,2,4,6,9,11,13\},B=\{3,5,7,8,10,12,14\}$ 满足要求，故n的最大值为14．
（2）将 $6\times6$ 的正方形网格按如下方式染10个格，无论怎样划掉3行和3列，剩下至少有1个红格：
另一方面，在 $6\times 6$ 的正方形网格中的9个格染成红色，则由抽屉原则，染色最少的3行中，每行最多有1个红格；因此选择划掉染色最多的3行，及剩余全部红格（最多3个）所在的列，即可划掉全部红格
综上，至少要涂红10个小方格才能满足要求
另一方面，当 $n=14$ 时，可划分子集 $A=\{1,2,4,6,9,11,13\},B=\{3,5,7,8,10,12,14\}$ 满足要求，故n的最大值为14．
（2）将 $6\times6$ 的正方形网格按如下方式染10个格，无论怎样划掉3行和3列，剩下至少有1个红格：另一方面，在 $6\times 6$ 的正方形网格中的9个格染成红色，则由抽屉原则，染色最少的3行中，每行最多有1个红格；因此选择划掉染色最多的3行，及剩余全部红格（最多3个）所在的列，即可划掉全部红格
综上，至少要涂红10个小方格才能满足要求
答案
解析
备注
