将 $X=\{{{1}^{2}},{{2}^{2}},{{3}^{2}},\cdots ,{{10000}^{2}}\}$ 划分成两个子集 $A,B$，使 $|A|=|B|$ 且 $S(A)=S(B)$ 其中 $S(T)$ 表示集合 $T$ 中所有元素之和．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $X=A\bigcup B$，使 $|A|=|B|$ 且 $S(A)=S(B)$ 。先对集合 $X=\{{{1}^{2}},{{2}^{2}},{{3}^{2}},\cdots,{{n}^{2}}\}$，研究类似的划分。
考察特例，当 $n=1,2,3,4,5$ 时，易知相应的划分不存在。
当 $n=6,7$ 时，因为6，7不是10000的越是，即使可划分，也不便推广到原题。
当 $n=8$ 时，相应的划分存在，将 $X$ 中的数由小到大依次排列成两行，则其中4个带下划线的数之和等于另4个数之和。
当 $n=2\times 8=16$ 时，只需考虑 ${{9}^{2}},{{10}^{2}},{{11}^{2}},\cdots,{{16}^{2}}$ 的划分，我们期望有类似的划分：
同样发现4个带下划线的数之和等于另4个数之和。
一般地，考虑数表：
结论同样成立，这只需验证恒等式：
${{(n+1)}^{2}}+{{(n+4)}^{2}}+{{(n+6)}^{2}}+{{(n+7)}^{2}}={{(n+2)}^{2}}+{{(n+3)}^{2}}+{{(n+5)}^{2}}+{{(n+7)}^{2}}$
于是，令 ${{A}_{k}}=\{{{(8k+1)}^{2}},{{(8k+4)}^{2}},{{(8k+6)}^{2}},{{(8k+7)}^{2}}\}$
${{B}_{k}}=\{{{(8k+2)}^{2}},{{(8k+3)}^{2}},{{(8k+5)}^{2}},{{(8k+8)}^{2}}\}$
则 $S({{A}_{k}})=S({{B}_{k}})$ 。
最后，令 $A=\bigcup\limits_{k=1}^{1249}{{{A}_{k}}},B=\bigcup\limits_{k=1}^{1249}{{{B}_{k}}}$，则 $S(A)=S(B)$，且 $|A|=|B|$．
考察特例，当 $n=1,2,3,4,5$ 时，易知相应的划分不存在。
当 $n=6,7$ 时，因为6，7不是10000的越是，即使可划分，也不便推广到原题。
当 $n=8$ 时，相应的划分存在，将 $X$ 中的数由小到大依次排列成两行，则其中4个带下划线的数之和等于另4个数之和。
当 $n=2\times 8=16$ 时，只需考虑 ${{9}^{2}},{{10}^{2}},{{11}^{2}},\cdots,{{16}^{2}}$ 的划分，我们期望有类似的划分：
同样发现4个带下划线的数之和等于另4个数之和。
一般地，考虑数表：
结论同样成立，这只需验证恒等式：
${{(n+1)}^{2}}+{{(n+4)}^{2}}+{{(n+6)}^{2}}+{{(n+7)}^{2}}={{(n+2)}^{2}}+{{(n+3)}^{2}}+{{(n+5)}^{2}}+{{(n+7)}^{2}}$
于是，令 ${{A}_{k}}=\{{{(8k+1)}^{2}},{{(8k+4)}^{2}},{{(8k+6)}^{2}},{{(8k+7)}^{2}}\}$
${{B}_{k}}=\{{{(8k+2)}^{2}},{{(8k+3)}^{2}},{{(8k+5)}^{2}},{{(8k+8)}^{2}}\}$
则 $S({{A}_{k}})=S({{B}_{k}})$ 。
最后，令 $A=\bigcup\limits_{k=1}^{1249}{{{A}_{k}}},B=\bigcup\limits_{k=1}^{1249}{{{B}_{k}}}$，则 $S(A)=S(B)$，且 $|A|=|B|$．
答案
解析
备注
