求证：对任何非空有限集 $A$，可将 $A$ 的所有子集排成一列，使得每两个相邻的子集恰相差一个元素？
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
当 $|A|=1$ 时，$A$ 的所有子集为 $\varnothing $，$A$，结论成立。
设 $|A|=n-1$ 时，结论成立，考察 $|A|=n$ 时的情形。设 $A=\text{ }\!\!\{\!\!\text{ }{{a}_{1}},\cdots ,{{a}_{n}}\}$，由归纳假设，集合 $A'=\{{{a}_{1}},{{a}_{2}},\cdots,{{a}_{n-1}}\}$ 的子集可排成合乎条件的一列：${{A}_{1}},{{A}_{2}},\cdots,{{A}_{t}}$，其中 $t={{2}^{n-1}}$，那么，${{A}_{t}},{{A}_{t-1}},\cdots ,{{A}_{1}}$ 也是合乎条件的一列。于是，$A$ 的所有子集可以排成：
${{A}_{1}},{{A}_{2}},\cdots,{{A}_{t}},{{A}_{t}}\bigcup \{{{a}_{n}}\},{{A}_{t-1}}\bigcup \{{{a}_{n}}\},\cdots,{{A}_{1}}\bigcup \{{{a}_{1}}\}$
这一排列显然合乎要求，命题获证．
设 $|A|=n-1$ 时，结论成立，考察 $|A|=n$ 时的情形。设 $A=\text{ }\!\!\{\!\!\text{ }{{a}_{1}},\cdots ,{{a}_{n}}\}$，由归纳假设，集合 $A'=\{{{a}_{1}},{{a}_{2}},\cdots,{{a}_{n-1}}\}$ 的子集可排成合乎条件的一列：${{A}_{1}},{{A}_{2}},\cdots,{{A}_{t}}$，其中 $t={{2}^{n-1}}$，那么，${{A}_{t}},{{A}_{t-1}},\cdots ,{{A}_{1}}$ 也是合乎条件的一列。于是，$A$ 的所有子集可以排成：
${{A}_{1}},{{A}_{2}},\cdots,{{A}_{t}},{{A}_{t}}\bigcup \{{{a}_{n}}\},{{A}_{t-1}}\bigcup \{{{a}_{n}}\},\cdots,{{A}_{1}}\bigcup \{{{a}_{1}}\}$
这一排列显然合乎要求，命题获证．
答案
解析
备注
