严格单增的数列 ${{a}_{1}}\text{,}{{a}_{2}},{{a}_{3}}\text{,}\cdots $ 满足对每个正整数 $k$，其子列 ${{a}_{2k\text{-}1}}\text{,}{{a}_{2k}}\text{,}{{a}_{2k+1}}$ 构成等比数列，其子列 ${{a}_{2k}}\text{,}{{a}_{2k+1}}\text{,}{{a}_{2k+2}}$ 构成等差数列。假设 ${{a}_{13}}\text{=}2016$，求 ${{a}_{1}}$
【难度】
【出处】
2016年第34届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
504
【解析】
若令 ${{a}_{1}}\text{=}1\text{,}{{a}_{2}}\text{=}2$，则根据条件得到数列 $1\text{,}2\text{,}4\text{,}6\text{,}9\text{,}12\text{,}16\text{,}20\text{,}25\text{,}30\text{,}36\text{,}42\text{,}49\text{,}\cdots$ 。我们可以发现规律，第 $1\text{,}3\text{,}5\text{,}7\cdots $ 项均为完全平方数，且从第三项起均为一等比数列的末项。所以 $2016\text{=}{{2}^{5}}\cdot{{3}^{2}}\cdot 7$，其包含的平方因子 ${{q}^{2}}$ 可选择的有 $q\text{=}1\text{,}3\text{,}{{2}^{2}}\text{=}4\text{,}2\cdot3=6,{{2}^{2}}\cdot 3=12$ 。经验证仅有 $q\text{=}12$ 时可使数列各项为整数，所以 ${{a}_{13}}\text{=}2016\text{=}14\cdot{{12}^{2}},{{a}_{1}}=14\cdot {{\left( 12-6 \right)}^{2}}=504$
答案
解析
备注
