令
$\displaystyle N=\sum\limits_{k=1}^{1000}{{}}k\left( \left\lceil {{\log }_{\sqrt{2}}}k \right\rceil -\left\lfloor {{\log }_{\sqrt{2}}}k \right\rfloor \right)$
求 $N$ 被1000除的余数。（这里 $\left\lfloor x \right\rfloor $ 表示不大于 $x$ 的最大整数，而 $\left\lceil x \right\rceil $ 表示不小于 $x$ 的最小整数。）
$\displaystyle N=\sum\limits_{k=1}^{1000}{{}}k\left( \left\lceil {{\log }_{\sqrt{2}}}k \right\rceil -\left\lfloor {{\log }_{\sqrt{2}}}k \right\rfloor \right)$
求 $N$ 被1000除的余数。（这里 $\left\lfloor x \right\rfloor $ 表示不大于 $x$ 的最大整数，而 $\left\lceil x \right\rceil $ 表示不小于 $x$ 的最小整数。）
【难度】
【出处】
2007年第25届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
477
【解析】
首先注意到当 $x$ 是整数时 $\left\lceil x \right\rceil
-\left\lfloor x \right\rfloor =0$，当 $x$ 不是整数时 $\left\lceil x \right\rceil-\left\lfloor x \right\rfloor =1$ 。因此对任意正整数 $k$，当 $k$ 是 $\sqrt{2}$ 的正整数次幂时有 $\left\lceil {{\log}_{\sqrt{2}}}k \right\rceil -\left\lfloor {{\log }_{\sqrt{2}}}k \right\rfloor=0$，当 $k$ 不是 $\sqrt{2}$ 的正整数次幂时有 $\left\lceil {{\log}_{\sqrt{2}}}k \right\rceil -\left\lfloor {{\log }_{\sqrt{2}}}k \right\rfloor=1$，而对于不超过 $1000$ 的正整数，只有形如 ${{2}^{j}}\left( 0\leqslant j\leqslant 9, j 是正整数\right)$ 的数是 $\sqrt{2}$ 在的正整数次幂，因此
$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{1000}{k}\left(\left\lceil {{\log }_{\sqrt{2}}}k \right\rceil -\left\lfloor {{\log}_{\sqrt{2}}}k \right\rfloor \right)=\sum\limits_{k=1}^{1000}{k}-\sum\limits_{j=0}^{9}{{{2}^{j}}}=\frac{1000\cdot1001}{2}-1023=499477$ 。
故所求的余数为 $477$ 。
-\left\lfloor x \right\rfloor =0$，当 $x$ 不是整数时 $\left\lceil x \right\rceil-\left\lfloor x \right\rfloor =1$ 。因此对任意正整数 $k$，当 $k$ 是 $\sqrt{2}$ 的正整数次幂时有 $\left\lceil {{\log}_{\sqrt{2}}}k \right\rceil -\left\lfloor {{\log }_{\sqrt{2}}}k \right\rfloor=0$，当 $k$ 不是 $\sqrt{2}$ 的正整数次幂时有 $\left\lceil {{\log}_{\sqrt{2}}}k \right\rceil -\left\lfloor {{\log }_{\sqrt{2}}}k \right\rfloor=1$，而对于不超过 $1000$ 的正整数，只有形如 ${{2}^{j}}\left( 0\leqslant j\leqslant 9, j 是正整数\right)$ 的数是 $\sqrt{2}$ 在的正整数次幂，因此
$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{1000}{k}\left(\left\lceil {{\log }_{\sqrt{2}}}k \right\rceil -\left\lfloor {{\log}_{\sqrt{2}}}k \right\rfloor \right)=\sum\limits_{k=1}^{1000}{k}-\sum\limits_{j=0}^{9}{{{2}^{j}}}=\frac{1000\cdot1001}{2}-1023=499477$ 。
故所求的余数为 $477$ 。
答案
解析
备注
