有七支球队进行足球锦标赛，每一个球队与其他各球队都恰比赛一场。每场球赛都分出胜负，每两队之间胜负的概率都是50%，没有平局，胜者得1分，负者得0分。各场球赛的结果都是互相独立的，以各队得分的总和排定各队的名次。若锦标赛第一轮 $A$ 队胜了 $B$ 队，则比赛结束后、$A$ 队积分比 $B$ 队高的概率 $\frac{m}{n}$，其中 $m n$ 为互素的正整数，试求 $m+n$ 的值。
【难度】
【出处】
2006年第24届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
831
【解析】
每个队总计有6场比赛，即 $A$ 队和 $B$ 队各还有5场比赛，且它们两对之间不再有比赛，一共有 ${{2}^{5}}\cdot{{2}^{5}}=1024$ 种可能的胜负结果。 $A$ 队要得到更多的分，它必须至少赢和 $B$ 队一样多的比赛。两队赢得相同数目的比赛的结果的数目是
${{\left( C_{5}^{0}\right)}^{2}}+{{\left( C_{5}^{1} \right)}^{2}}+{{\left( C_{5}^{2}\right)}^{2}}+{{\left( C_{5}^{3} \right)}^{2}}+{{\left( C_{5}^{4}\right)}^{2}}+{{\left( C_{5}^{5} \right)}^{2}}=252$ 。
还剩下 $1024-252=772$ 种结果，由对称性知这其中有—半的结果是 $A$ 队赢得比 $B$ 队多，另一半的结果是 $B$ 队赢得比 $A$ 队多，因此所求的概率是 $\frac{252+\frac{772}{2}}{1024}=\frac{319}{512}$，故 $m+n=831$ 。
${{\left( C_{5}^{0}\right)}^{2}}+{{\left( C_{5}^{1} \right)}^{2}}+{{\left( C_{5}^{2}\right)}^{2}}+{{\left( C_{5}^{3} \right)}^{2}}+{{\left( C_{5}^{4}\right)}^{2}}+{{\left( C_{5}^{5} \right)}^{2}}=252$ 。
还剩下 $1024-252=772$ 种结果，由对称性知这其中有—半的结果是 $A$ 队赢得比 $B$ 队多，另一半的结果是 $B$ 队赢得比 $A$ 队多，因此所求的概率是 $\frac{252+\frac{772}{2}}{1024}=\frac{319}{512}$，故 $m+n=831$ 。
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解析
备注
