试求一共有多少个有序正整数对 $\left( a,b \right)$ 使得 $a+b=\text{1}000$，并且 $a$ 和 $b$ 的十进制表达式中均不出现数字0？
【难度】
【出处】
2006年第24届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
738
【解析】
首先当 $a=b$ 时，$a=b=500$，不合题意，故 $a b$ 不等，下面先不妨设 $a<b$ 。
若 $a$ 是一位数，那么 $b$ 的各位数字分别为9，9，$10-a$，必然不包含0，这种情况下 $a$ 有9种选取的方法。
若 $a$ 是两位数，则可设 $a$ 的十位和个位数字分别为 $t$ 和 $u$，那么 $b$ 的各位数学分别为9，$9-t$，$10-u$，当且仅当 $t\ne 9$，$b$ 的各位数字均不为零，故若要 $a b$ 的各位数字均不为零，只需 $t\ne 0 t\ne 9 u\ne0 $ 这样 $t$ 共有8种选取方法，$u$ 共有9种选取方法，因此满足条件的两位数 $a$ 一共有 $8\times 9\text{=}72$ 个。
若 $a$ 是三位数，则可设 $a$ 的百位、十位和个位数字分别为 $h t$ 和 $u$，那么 $b$ 的各位数字分别为 $9-h$，$9-t$，$10-u$ 。当且仅当 $1\leqslant h\leqslant 4 1\leqslant t\leqslant 8 1\leqslant u\leqslant 9$ 时，$a b$ 的各位数字均不为零，因此满足条件的三位数 $a$，一共有 $4\times 8\times9\text{=}288$ 个。
综上所述，当这 $a<b$ 时，这样的数对有 $9+72+288\text{=}369$ 个。因为每一个数对可以通过调换两个数的位置得到另一个满足 $b<a$ 的数对，因此一共有 $2\times 369\text{=}738$ 个这样的数对。
若 $a$ 是一位数，那么 $b$ 的各位数字分别为9，9，$10-a$，必然不包含0，这种情况下 $a$ 有9种选取的方法。
若 $a$ 是两位数，则可设 $a$ 的十位和个位数字分别为 $t$ 和 $u$，那么 $b$ 的各位数学分别为9，$9-t$，$10-u$，当且仅当 $t\ne 9$，$b$ 的各位数字均不为零，故若要 $a b$ 的各位数字均不为零，只需 $t\ne 0 t\ne 9 u\ne0 $ 这样 $t$ 共有8种选取方法，$u$ 共有9种选取方法，因此满足条件的两位数 $a$ 一共有 $8\times 9\text{=}72$ 个。
若 $a$ 是三位数，则可设 $a$ 的百位、十位和个位数字分别为 $h t$ 和 $u$，那么 $b$ 的各位数字分别为 $9-h$，$9-t$，$10-u$ 。当且仅当 $1\leqslant h\leqslant 4 1\leqslant t\leqslant 8 1\leqslant u\leqslant 9$ 时，$a b$ 的各位数字均不为零，因此满足条件的三位数 $a$，一共有 $4\times 8\times9\text{=}288$ 个。
综上所述，当这 $a<b$ 时，这样的数对有 $9+72+288\text{=}369$ 个。因为每一个数对可以通过调换两个数的位置得到另一个满足 $b<a$ 的数对，因此一共有 $2\times 369\text{=}738$ 个这样的数对。
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备注
