有多少个小于1000的正整数 $N$ 恰好可以写成5种不同的连续 $j$ 个正奇数的和的形式（其中 $j\geqslant 1$）？
【难度】
【出处】
2006年第24届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
15
【解析】
设 $N=\left( 2m+1 \right)+\left( 2\left( m+1\right)+1 \right)+\ldots +\left( 2\left( k-1 \right)+1 \right)$，其中 $m k$ 是非负整数，且 $k>m$ 。注意到 $n=\left( 1+3+\ldots +\left(2k-1 \right) \right)-\left( 1+3+\ldots +\left( 2m-1 \right) \right)\text{=}{{\text{k}}^{2}}-{{m}^{2}}$，故只需找出不超过 $1000$ 且恰能写成五种 ${{k}^{2}}-{{m}^{2}}\left( k, m\in Z,k>m\geqslant 0 \right)$ 的正整数的个数即可。下面分 $n$ 的奇偶性进行讨论。
若 $N$ 是奇数，则 $N={{k}^{2}}-{{m}^{2}}=\left(k+m \right)\left( k-m \right)$，其中 $k+m k-m$ 均 $N$ 的因子。另一方面，对于 $N$ 的两个乘积为 $N$ 的因子 $p\geqslant q$，由于 $N$ 是奇数，故 $p q$ 是奇数，故令 $k=\frac{p+q}{2}$，$m=\frac{p-q}{2}$ 可得一组解。因此把 $N$ 写成 ${{k}^{2}}-{{m}^{2}}\left( k,m\in Z,k>m\geqslant 0 \right)$ 的方法数等于把 $N$ 写成 $rs$ 形式 $\left( r\geqslant s>0 \right)$ 的方法数。因此 $N$ 有 $5$ 种写成 $rs$ 形式 $\left( r\geqslant s>0 \right)$ 的方法，即 $N$ 有 $9$ 个或 $10$ 个因子，由因子个数公式知 $N$ 具有下列形式之一：${{p}^{8}},{{p}^{9}},{{p}^{2}}{{q}^{2}},p{{q}^{4}} $ 其中 $p q$ 是不同的奇素数，但是 $N$ 不可能有 ${{p}^{8}}$ 或 ${{p}^{9}}$ 的形式，因为那样意味着有 $N\geqslant {{3}^{8}}>1000$ 。如果 $N$ 具有 ${{p}^{2}}{{q}^{2}}$ 的形式，由于 $N<1000$，故 $pq\leqslant 31$，故只能是 $\left( p,q\right)=\left( 3,5 \right)$ 或者 $\left( q,p \right)=\left( 3,7\right)$，此时有两个可能的 $N$ 值，即 ${{3}^{2}}\cdot {{5}^{2}}$ 和 ${{3}^{2}}\cdot {{7}^{2}}$ 。如果 $N$ 具有 $p{{q}^{4}}$ 的形式，那么由于 $3\cdot {{5}^{4}}>1000$，必有 $q=3$，因此 $p<\frac{1000}{{{3}^{4}}}=12\frac{28}{81}$，即 $p$ 只能为 $5,7,11$ 之一，此时有三个可能的 $N$ 值，即 $5\cdot {{3}^{4}},7\cdot{{3}^{4}}$ 和 $11\cdot{{3}^{4}}$
若 $N$ 是偶数，则 $N={{k}^{2}}-{{m}^{2}}=\left(k+m \right)\left( k-m \right)$，其中 $k+m k-m$ 奇偶性相同，故它们都是偶数（因两者之积是偶数），因此 $N$ 必须是 $4$ 的倍数。对于 $N$ 的每种表示成 ${{k}^{2}}-{{m}^{2}}$ 的形式，都有 $\frac{k+m}{2}$ 和 $\frac{k-m}{2}$ 是两个乘积为 $\frac{N}{4}$ 的正整数；另一方面，对于任意两个乘积为 $\frac{N}{4}$ 的正整数 $r s\left( r\geqslant s>0\right)$，令 $k=r+s,m=r-s$ 即得 $N={{k}^{2}}-{{m}^{2}}$ 的一种表示方法，与奇数的情况类似可知 $\frac{N}{4}$ 应有9个或10个因子，即 $\frac{N}{4}$ 具有 ${{p}^{8}},{{p}^{9}} , {{p}^{2}}{{q}^{2}},p{{q}^{4}}$ 之一的形式。由 ${{2}^{8}}=256>\frac{1000}{4}$ 知 $\frac{N}{4}$ 仅能为 ${{p}^{2}}{{q}^{2}}$ 或 $p{{q}^{4}}$ 的形式，若 $\frac{N}{4}={{p}^{2}}{{q}^{2}}$，则 $pq<16$，故 $pq=$ $ 6,10,14,15$，有 $4$ 个可能的 $N$ 值；若 $\frac{N}{4}=p{{q}^{4}}$，则由于，$q=2$ 或 $q=3$ 。若 $q=2$，则 $p<\frac{1000}{4\times{{2}^{4}}}=15\frac{5}{8}$，即 $p$ 只能为 $3,5,7,11,13$ 之一，若 $q=3$，则 $p<\frac{1000}{4\times{{3}^{4}}}=3\frac{7}{81}$，故只有 $p=2$，此时有6个可能的 $N$ 值。
综上所述，满足题目要求的正整数 $N$ 共有 $2+3+4+6=15$ 个。
若 $N$ 是奇数，则 $N={{k}^{2}}-{{m}^{2}}=\left(k+m \right)\left( k-m \right)$，其中 $k+m k-m$ 均 $N$ 的因子。另一方面，对于 $N$ 的两个乘积为 $N$ 的因子 $p\geqslant q$，由于 $N$ 是奇数，故 $p q$ 是奇数，故令 $k=\frac{p+q}{2}$，$m=\frac{p-q}{2}$ 可得一组解。因此把 $N$ 写成 ${{k}^{2}}-{{m}^{2}}\left( k,m\in Z,k>m\geqslant 0 \right)$ 的方法数等于把 $N$ 写成 $rs$ 形式 $\left( r\geqslant s>0 \right)$ 的方法数。因此 $N$ 有 $5$ 种写成 $rs$ 形式 $\left( r\geqslant s>0 \right)$ 的方法，即 $N$ 有 $9$ 个或 $10$ 个因子，由因子个数公式知 $N$ 具有下列形式之一：${{p}^{8}},{{p}^{9}},{{p}^{2}}{{q}^{2}},p{{q}^{4}} $ 其中 $p q$ 是不同的奇素数，但是 $N$ 不可能有 ${{p}^{8}}$ 或 ${{p}^{9}}$ 的形式，因为那样意味着有 $N\geqslant {{3}^{8}}>1000$ 。如果 $N$ 具有 ${{p}^{2}}{{q}^{2}}$ 的形式，由于 $N<1000$，故 $pq\leqslant 31$，故只能是 $\left( p,q\right)=\left( 3,5 \right)$ 或者 $\left( q,p \right)=\left( 3,7\right)$，此时有两个可能的 $N$ 值，即 ${{3}^{2}}\cdot {{5}^{2}}$ 和 ${{3}^{2}}\cdot {{7}^{2}}$ 。如果 $N$ 具有 $p{{q}^{4}}$ 的形式，那么由于 $3\cdot {{5}^{4}}>1000$，必有 $q=3$，因此 $p<\frac{1000}{{{3}^{4}}}=12\frac{28}{81}$，即 $p$ 只能为 $5,7,11$ 之一，此时有三个可能的 $N$ 值，即 $5\cdot {{3}^{4}},7\cdot{{3}^{4}}$ 和 $11\cdot{{3}^{4}}$
若 $N$ 是偶数，则 $N={{k}^{2}}-{{m}^{2}}=\left(k+m \right)\left( k-m \right)$，其中 $k+m k-m$ 奇偶性相同，故它们都是偶数（因两者之积是偶数），因此 $N$ 必须是 $4$ 的倍数。对于 $N$ 的每种表示成 ${{k}^{2}}-{{m}^{2}}$ 的形式，都有 $\frac{k+m}{2}$ 和 $\frac{k-m}{2}$ 是两个乘积为 $\frac{N}{4}$ 的正整数；另一方面，对于任意两个乘积为 $\frac{N}{4}$ 的正整数 $r s\left( r\geqslant s>0\right)$，令 $k=r+s,m=r-s$ 即得 $N={{k}^{2}}-{{m}^{2}}$ 的一种表示方法，与奇数的情况类似可知 $\frac{N}{4}$ 应有9个或10个因子，即 $\frac{N}{4}$ 具有 ${{p}^{8}},{{p}^{9}} , {{p}^{2}}{{q}^{2}},p{{q}^{4}}$ 之一的形式。由 ${{2}^{8}}=256>\frac{1000}{4}$ 知 $\frac{N}{4}$ 仅能为 ${{p}^{2}}{{q}^{2}}$ 或 $p{{q}^{4}}$ 的形式，若 $\frac{N}{4}={{p}^{2}}{{q}^{2}}$，则 $pq<16$，故 $pq=$ $ 6,10,14,15$，有 $4$ 个可能的 $N$ 值；若 $\frac{N}{4}=p{{q}^{4}}$，则由于，$q=2$ 或 $q=3$ 。若 $q=2$，则 $p<\frac{1000}{4\times{{2}^{4}}}=15\frac{5}{8}$，即 $p$ 只能为 $3,5,7,11,13$ 之一，若 $q=3$，则 $p<\frac{1000}{4\times{{3}^{4}}}=3\frac{7}{81}$，故只有 $p=2$，此时有6个可能的 $N$ 值。
综上所述，满足题目要求的正整数 $N$ 共有 $2+3+4+6=15$ 个。
答案
解析
备注
