在小于 ${{10}^{6}}$ 的正完全平方数中，有多少个是24的倍数？
【难度】
【出处】
2007年第25届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
83
【解析】
由于 $24=3\cdot {{2}^{3}}$，故一个平方数被 $24$ 整除当且仅当它被 ${{3}^{2}}\cdot{{2}^{4}}=144$ 整除。我们注意到，一个个小于 ${{10}^{6}}$ 的正平方数 ${{N}^{2}}$ 能被 $144$ 整除当且仅当正整数 $N$ 是12的倍数且小于 $1000$ 。因为 $996$ 是小于 $1000$ 的最大的 $12$ 的倍数，故满足要求的 $N$ 有 $\frac{996}{12}=83$ 个，即小于 ${{10}^{6}}$ 的正平方数中有 $83$ 个被 $24$ 整除。
答案
解析
备注
