等边 $\vartriangle ABC$ 的外接圆半径为2。延长 $AB$ 到 $D$，使得 $AD=13$，延长 $AC$ 到 $E$，使得 $AE=11$ 。过 $D$ 作 $\vartriangle ABC$ 的平行线 ${{l}_{1}}$，过 $E$ 作 $AD$ 的平行线 ${{l}_{2}}$ 。设 $F$ 是 ${{l}_{1}}$ 与 ${{l}_{2}}$ 的交点，直线 $AF$ 交 $\vartriangle ABC$ 的外接圆于另一点 $G$ 。若 $\vartriangle CGB$ 的面积可以表示为 $\frac{p\sqrt{q}}{r}$，其中 $p q r$ 为正整数，$p$ 与 $r$ 互素，且 $q$ 不能被任何素数的平方整除，试求 $p+q+r$ 的值。
【难度】
【出处】
2006年第24届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
865
【解析】
显然四边形 $ADFE$ 为平行四边形，故 $DF=AE=11 \angle ADF={{108}^{\circ }}-\angle BAC={{120}^{\circ }}$ 。在 $\vartriangle ABC$ 中使用余弦定理得
$AF=\sqrt{A{{D}^{2}}+D{{F}^{2}}-2AD\cdot DF\cdot \cos \angle ADF}=\sqrt{{{13}^{2}}+{{11}^{2}}+13\times 11}=\sqrt{433}$ 。
在 $\vartriangle ADF$ 中使用正弦定理得
$\sin \angle DAF=\frac{DF\cdot \sin \angle ADF}{AF}\text{=}\frac{11\sqrt{3}}{2\sqrt{433}}$，$\sin \angle DFA=\frac{DA\cdot \sin \angle ADF}{AF}=\frac{13\sqrt{3}}{2\sqrt{433}}$ 。
由圆周角定理得 $\angle BCG=\angle BAG=\angle DAF$，$\angle CBG=\angle CAG=\angle DFA$，
又 $\angle BGC={{108}^{\circ }}-\angle BAC={{120}^{\circ }}$，故由三角形面积公式 $S=2{{R}^{2}}\sin A\sin B\sin C$ 得
${{S}_{\vartriangle BCG}}=2{{R}^{2}}\sin \angle BCG\sin \angle CBG\sin \angle BGC$
$=2\cdot{{2}^{2}}\cdot \sin \angle DAF\cdot \sin \angle DFA\cdot \sin {{102}^{\circ }}$
$\text{=}8\cdot\frac{11\sqrt{3}}{2\sqrt{433}}\cdot \frac{13\sqrt{3}}{2\sqrt{433}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{429\sqrt{3}}{499}$ 。
故 $p+q+r=429+3+433=865$ 。
$AF=\sqrt{A{{D}^{2}}+D{{F}^{2}}-2AD\cdot DF\cdot \cos \angle ADF}=\sqrt{{{13}^{2}}+{{11}^{2}}+13\times 11}=\sqrt{433}$ 。
在 $\vartriangle ADF$ 中使用正弦定理得
$\sin \angle DAF=\frac{DF\cdot \sin \angle ADF}{AF}\text{=}\frac{11\sqrt{3}}{2\sqrt{433}}$，$\sin \angle DFA=\frac{DA\cdot \sin \angle ADF}{AF}=\frac{13\sqrt{3}}{2\sqrt{433}}$ 。
由圆周角定理得 $\angle BCG=\angle BAG=\angle DAF$，$\angle CBG=\angle CAG=\angle DFA$，
又 $\angle BGC={{108}^{\circ }}-\angle BAC={{120}^{\circ }}$，故由三角形面积公式 $S=2{{R}^{2}}\sin A\sin B\sin C$ 得
${{S}_{\vartriangle BCG}}=2{{R}^{2}}\sin \angle BCG\sin \angle CBG\sin \angle BGC$
$=2\cdot{{2}^{2}}\cdot \sin \angle DAF\cdot \sin \angle DFA\cdot \sin {{102}^{\circ }}$
$\text{=}8\cdot\frac{11\sqrt{3}}{2\sqrt{433}}\cdot \frac{13\sqrt{3}}{2\sqrt{433}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{429\sqrt{3}}{499}$ 。
故 $p+q+r=429+3+433=865$ 。
答案
解析
备注
