某个数列 $\left\{ {{a}_{n}} \right\}$ 定义如下：${{a}_{1}}={{a}_{2}}={{a}_{3}}\text{=}1$，对宇任意的正整数 $n$，有 ${{a}_{n+3}}={{a}_{n+2}}+{{a}_{n+1}}+{{a}_{n}}$ 。现已知 ${{a}_{28}}=6090307 {{a}_{29}}=11201821 {{a}_{30}}=20603361$，试求 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{28}{{{a}_{k}}}$ 除以1000的余数。
【难度】
【出处】
2006年第24届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
834
【解析】
将递推式 ${{a}_{k+3}}={{a}_{k+2}}+{{a}_{k+1}}+{{a}_{k}}$ 对 $k=1,2,\ldots,27$ 求得
$\displaystyle \sum\limits_{i=4}^{30}{{{a}_{i}}}=\sum\limits_{j=3}^{29}{{{a}_{j}}}+\sum\limits_{k=2}^{28}{{{a}_{k}}+\sum\limits_{l=1}^{27}{{{a}_{l}}}}$ 。
设 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{28}{{{a}_{k}}}=N$，则上式变为
$\left(N+{{a}_{29}}+{{a}_{30}}-{{a}_{1}}-{{a}_{2}}-{{a}_{3}} \right)=\left(N+{{a}_{29}}-{{a}_{1}}-{{a}_{2}} \right)+\left( N-{{a}_{1}} \right)+\left(N-{{a}_{28}} \right)$ 。
化简，得
${{a}_{30}}-{{a}_{3}}=2N-{{a}_{1}}-{{a}_{28}}$ 。
注意到 ${{a}_{1}}={{a}_{3}}$，故 $N=\frac{{{a}_{28}}+{{a}_{30}}}{2}=\frac{609307+20603361}{2}=13346834$，因此所求余数为834。
$\displaystyle \sum\limits_{i=4}^{30}{{{a}_{i}}}=\sum\limits_{j=3}^{29}{{{a}_{j}}}+\sum\limits_{k=2}^{28}{{{a}_{k}}+\sum\limits_{l=1}^{27}{{{a}_{l}}}}$ 。
设 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{28}{{{a}_{k}}}=N$，则上式变为
$\left(N+{{a}_{29}}+{{a}_{30}}-{{a}_{1}}-{{a}_{2}}-{{a}_{3}} \right)=\left(N+{{a}_{29}}-{{a}_{1}}-{{a}_{2}} \right)+\left( N-{{a}_{1}} \right)+\left(N-{{a}_{28}} \right)$ 。
化简，得
${{a}_{30}}-{{a}_{3}}=2N-{{a}_{1}}-{{a}_{28}}$ 。
注意到 ${{a}_{1}}={{a}_{3}}$，故 $N=\frac{{{a}_{28}}+{{a}_{30}}}{2}=\frac{609307+20603361}{2}=13346834$，因此所求余数为834。
答案
解析
备注
