圆 ${{C}_{1}} {{C}_{2}} {{C}_{3}}$ 的圆心分别为 $\left( 0 ,0 \right) \left( 12 ,0 \right) \left( 24, 0 \right)$，它们的半径分别为 $1 ,2, 4$ 。直线 ${{t}_{1}}$ 是圆 ${{C}_{1}}$ 和 ${{C}_{2}}$ 的斜率为正的内公切线，直线 ${{t}_{2}}$ 是圆 ${{C}_{2}}$ 和 ${{C}_{3}}$ 的斜率为负的内公切线，设直线 ${{t}_{1}}$ 和 ${{t}_{2}}$ 交于点 $\left( x,y \right)$，且 $x=q-p\sqrt{r}$，其中 $p ,q ,r$ 为正整数，且 $r$ 不能被任何素数的平方整除。试求 $p+q+r$ 的值。
【难度】
【出处】
2006年第24届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
27
【解析】
圆 ${{C}_{1}}$ 与圆 ${{C}_{2}}$ 的圆心距为12，半径和为 $1+2+3$，故它们的内公切线与连心线所成角为 $\arcsin \frac{3}{12}=\arcsin\frac{1}{4}=\arcsin \frac{1}{\sqrt{15}}$ 。两圆连心线与内公切线的交点分连心线为 $1:2$ 的两段，故交点的坐标为 $\left( 4 0 \right)$ 因此 ${{t}_{1}}$ 过点 $\left( 4 0 \right)$，且斜率为 $\frac{1}{\sqrt{15}}$ 。
圆 ${{C}_{1}}$ 与 ${{C}_{2}}$ 的圆心距为12，半径和为 $2+4=6$，故它们的内切线与连心线所成角为 $\arcsin \frac{6}{12}=\arcsin\frac{1}{2}=\arcsin \frac{1}{\sqrt{13}}$ 。两圆连心线与内公切线的交点分连线为 $1:2$ 的两段，故交点的坐标为 $\left( 16 0 \right)$ 。因此 ${{t}_{2}}$ 过点 $\left( 16 0 \right)$，且斜率为 $-\frac{1}{\sqrt{3}}$ 。
因此我们可以推出点 $\left(x y \right)$ 应满足的直线 ${{t}_{1}}$ 和 ${{t}_{2}}$ 的方程分别为 $x-4=\sqrt{15}y$ 与 $x-16=-\sqrt{3}y$ 。联立两个式子，从中消去 $y$ 得 $\left( x-4\right)+\sqrt{5}\left( x-16 \right)=0$，
因此 $x=\frac{4+16\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}=\frac{1}{4}\cdot\left( 4+16\sqrt{5} \right)\left( \sqrt{5}-1 \right)=19-3\sqrt{5}$，故 $p+q+r=27$ 。
圆 ${{C}_{1}}$ 与 ${{C}_{2}}$ 的圆心距为12，半径和为 $2+4=6$，故它们的内切线与连心线所成角为 $\arcsin \frac{6}{12}=\arcsin\frac{1}{2}=\arcsin \frac{1}{\sqrt{13}}$ 。两圆连心线与内公切线的交点分连线为 $1:2$ 的两段，故交点的坐标为 $\left( 16 0 \right)$ 。因此 ${{t}_{2}}$ 过点 $\left( 16 0 \right)$，且斜率为 $-\frac{1}{\sqrt{3}}$ 。
因此我们可以推出点 $\left(x y \right)$ 应满足的直线 ${{t}_{1}}$ 和 ${{t}_{2}}$ 的方程分别为 $x-4=\sqrt{15}y$ 与 $x-16=-\sqrt{3}y$ 。联立两个式子，从中消去 $y$ 得 $\left( x-4\right)+\sqrt{5}\left( x-16 \right)=0$，
因此 $x=\frac{4+16\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}=\frac{1}{4}\cdot\left( 4+16\sqrt{5} \right)\left( \sqrt{5}-1 \right)=19-3\sqrt{5}$，故 $p+q+r=27$ 。
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