记 $S$ 。为从1到 ${{10}^{n}}$ 中所有整数中各个非零数字的倒数和，试求使得 ${{S}_{n}}$ 是整数的最小正整数 $n$ 。
【难度】
【出处】
2006年第24届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
63
【解析】
由题意得
${{S}_{n}}=1+\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots +\frac{1}{9} \right)\cdot n\cdot {{10}^{n-1}}$ 。
当作 $n=1 2 3$ 时考虑 $\frac{1}{7}$ 那一项可知 ${{S}_{n}}$ 不是整数。当 $n\geqslant 4$ 时，注意到 $\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{8} \right)\cdot n\cdot{{10}^{n-1}}$ 和 $\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{6} \right)\cdot n\cdot {{10}^{n-1}}=\frac{1}{2}\cdot n\cdot {{10}^{n-1}}$ 都是整数。因而当且仅当 $\left( \frac{1}{7}+\frac{1}{9} \right)\cdot n\cdot {{10}^{n-1}}=\frac{16}{63}\cdot n\cdot {{10}^{n-1}}$ 时整数。 ${{S}_{n}}$ 是整数。由于 $16\cdot {{10}^{n-1}}$ 与63互素，故使得 ${{S}_{n}}$ 。是整数的最小 $n$ 值为63。
${{S}_{n}}=1+\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots +\frac{1}{9} \right)\cdot n\cdot {{10}^{n-1}}$ 。
当作 $n=1 2 3$ 时考虑 $\frac{1}{7}$ 那一项可知 ${{S}_{n}}$ 不是整数。当 $n\geqslant 4$ 时，注意到 $\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{8} \right)\cdot n\cdot{{10}^{n-1}}$ 和 $\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{6} \right)\cdot n\cdot {{10}^{n-1}}=\frac{1}{2}\cdot n\cdot {{10}^{n-1}}$ 都是整数。因而当且仅当 $\left( \frac{1}{7}+\frac{1}{9} \right)\cdot n\cdot {{10}^{n-1}}=\frac{16}{63}\cdot n\cdot {{10}^{n-1}}$ 时整数。 ${{S}_{n}}$ 是整数。由于 $16\cdot {{10}^{n-1}}$ 与63互素，故使得 ${{S}_{n}}$ 。是整数的最小 $n$ 值为63。
答案
解析
备注
