一条100英尺长的自动扶梯以每秒6英尺的恒定速度移动，$\text{A1}$ 移动到扶梯的起点并站立在扶梯上不动，$\text{Bob}$ 在两秒后到达扶梯的起点，并在扶梯上以每秒 $4$ 英尺的速度向扶梯的前进方向匀速前进，再过两秒钟后，$\text{Cy}$ 到达扶梯的起点，并在扶梯旁边以每秒 $8$ 英尺的速度向扶梯的前进方向匀速前进。在某一时刻，这三人中有一人恰在其他两人所处位置的中点上，求这时中间的那个人离扶梯起点处的距离。
【难度】
【出处】
2007年第25届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
52英尺
【解析】
设 $t$ 是人 $\text{A1}$ 移动的时间，则 $t-2$ 是 $\text{Bob}$ 的时间，$t-4$ 是 $\text{Cy}$ 移动的时间，那么他们三人离起点的距离分别为 $6t$，$10\left( t-2 \right)$ 和 $8\left( t-4 \right)$ 。
若 $\text{Cy}$ 在另两人中间，则 $10\left( t-2 \right)-8\left(t-4 \right)=8\left( t-4 \right)-6t$，无解；
若 $\text{Bob}$ 在另两人中间，则 $10\left( t-2 \right)-8\left(t-4 \right)=6t-10\left( t-2 \right)$，解得 $t=\frac{4}{3}$ 不合题意；
若 $\text{A1}$ 在另两人中间，则 $6t-8\left( t-4 \right)=10\left(t-2 \right)-6t$，解得 $t=\frac{26}{3}$，此时中间的 $\text{A1}$ 到起点距离为 $6\cdot \frac{26}{3}=52$（英尺）。
若 $\text{Cy}$ 在另两人中间，则 $10\left( t-2 \right)-8\left(t-4 \right)=8\left( t-4 \right)-6t$，无解；
若 $\text{Bob}$ 在另两人中间，则 $10\left( t-2 \right)-8\left(t-4 \right)=6t-10\left( t-2 \right)$，解得 $t=\frac{4}{3}$ 不合题意；
若 $\text{A1}$ 在另两人中间，则 $6t-8\left( t-4 \right)=10\left(t-2 \right)-6t$，解得 $t=\frac{26}{3}$，此时中间的 $\text{A1}$ 到起点距离为 $6\cdot \frac{26}{3}=52$（英尺）。
答案
解析
备注
