实数 $x y z$ 满足
$x=\sqrt{{{y}^{2}}-\frac{1}{16}}+\sqrt{{{z}^{2}}-\frac{1}{16}}$，
$y\text{=}\sqrt{{{z}^{2}}-\frac{1}{25}}+\sqrt{{{x}^{2}}-\frac{1}{25}}$，
$z=\sqrt{{{x}^{2}}-\frac{1}{36}}+\sqrt{{{y}^{2}}-\frac{1}{36}}$ 。
记 $x+y+z=\frac{m}{\sqrt{n}}$，其中 $m n$ 是正整数，且 $n$ 不能被任何素数的平方整除，试求 $m+n$ 得值。
$x=\sqrt{{{y}^{2}}-\frac{1}{16}}+\sqrt{{{z}^{2}}-\frac{1}{16}}$，
$y\text{=}\sqrt{{{z}^{2}}-\frac{1}{25}}+\sqrt{{{x}^{2}}-\frac{1}{25}}$，
$z=\sqrt{{{x}^{2}}-\frac{1}{36}}+\sqrt{{{y}^{2}}-\frac{1}{36}}$ 。
记 $x+y+z=\frac{m}{\sqrt{n}}$，其中 $m n$ 是正整数，且 $n$ 不能被任何素数的平方整除，试求 $m+n$ 得值。
【难度】
【出处】
2006年第24届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
9
【解析】
每个方程右边的根式让我们想起毕达哥拉斯定理（勾股定理）。以第一个方程为例，每一个根式表示一个直角三角形的直角边，加一条直角边等于 $\frac{1}{4}$，它们的斜边分别是 $y$ 或 $z$，则 $x$ 等于两条未知直角边长度之和。构造 $\vartriangle XYZ$，其中 $YZ=x XZ=y XY=z$ 。若这个三角形是锐角三角形，且 $YZ$ 边上的高等于 $\frac{1}{4}$，$XZ$ 和 $XY$ 上的高分别等于 $\frac{1}{5}$ 和 $\frac{1}{6}$，则此三角形的三边长 $x,y,z$ 满足题目中的方程。
设这个三角形的面积为 $K$，则由面积公式不难推出 $x=8K$，$y=10K$，$z=12K$ 。由余弦定理不难证明这个三角形确实是锐角三角形，再由海伦公式可推得这个三角形的面积 $S=\sqrt{15K\cdot 3K\cdot5K\cdot 7K}=15\sqrt{7}{{K}^{2}}$，即 $K=15\sqrt{7}{{K}^{2}}$，故 $K=\frac{1}{15\sqrt{7}}\left(K=0 \right)$ 。因此 $x+y+z=30K=\frac{2}{\sqrt{7}}$，故 $m+n=9$ 。
设这个三角形的面积为 $K$，则由面积公式不难推出 $x=8K$，$y=10K$，$z=12K$ 。由余弦定理不难证明这个三角形确实是锐角三角形，再由海伦公式可推得这个三角形的面积 $S=\sqrt{15K\cdot 3K\cdot5K\cdot 7K}=15\sqrt{7}{{K}^{2}}$，即 $K=15\sqrt{7}{{K}^{2}}$，故 $K=\frac{1}{15\sqrt{7}}\left(K=0 \right)$ 。因此 $x+y+z=30K=\frac{2}{\sqrt{7}}$，故 $m+n=9$ 。
答案
解析
备注
