华氏温度 $F$ 和摄氏温度 $C$ 之间的换算公式为 $C=\frac{5}{9}\left( F-32 \right)$ 。对于一个整数度的华氏温度，先将其换算为摄氏温度，并近似到最近的整数温度，然后再换算为华氏温度，再近似到最近的整数温度。试问有多少满足 $32\leqslant T\leqslant 1000$ 的华氏温度 $T$ 经过这个变换后得到的温度还等于它本身？
【难度】
【出处】
2007年第25届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
539
【解析】
注意到温度 $T$ 能还原回 $T$ 当且仅当 $T+9$ 能还原成 $T+9$ 。因此只需检验连续的 $9$ 个温度即可。不难得出，$32$ 变为 $32$，$33$ 和 $34$ 都变为 $34$，$35$ 和 $36$ 都变为 $36$，$37$ 和 $38$ 都变为 $37$，$39$ 和 $40$ 都变为 $39$，因此连续的九个温度中有五个可以回到它们自身，另四个不能。对于 $32\leqslant T32+9\cdot 107=995$，有 $107\cdot 5=535$ 个温度恰好可以回到自身。剩下的六个温度 $995$，$996$，…，$1000$ 与 $32$，$33$，…，$37$ 的状态相同，故这六个温度中恰好有四个可以回到自身，因此总共有 $535+4=539$ 个满足题目条件的温度。
答案
解析
备注
