三颗行星围绕着同一颗恒星公转，它们的轨迹在同一平面上，且都是圆心在此恒星上的圆周，它们公转的方向相同，公转的周期分别为 $60$，$84$ 和 $140$ 年，现在这三颗行星和这颗恒星在同一条直线上，它们下一次共线是在 $n$ 年之后，求 $n$ 。
【难度】
【出处】
2007年第25届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
105
【解析】
当且仅当两个行星转过的圈数差半圈的倍数时，这两颗行星与恒星共线。注意到当最外面的行星转过 $r$ 圈时，中间和里面的行星分别转过 $\frac{140r}{84}=\frac{5}{3}r$ 和 $\frac{140r}{60}=\frac{7}{3}r$ 圈。这说明，当且仅当 $\frac{2}{3}r=\frac{1}{2}k$ 对某个正整数 $k$ 成立时，四颗星共线。这样，满足要求的最小正数 $r$ 为 $\frac{3}{4}$ 。故 $n=\frac{3}{4}\cdot 140=105$ 。
答案
解析
备注
