为了完成一件大工程，雇请了 $1000$ 位工人，原计划恰可依照预定时间完成此工程。这 $1000$ 位工人一起工作，依照计划时间完成了前 $\frac{1}{4}$ 的工程，接着解雇了 $100$ 位工人后才继续做第二个 $\frac{1}{4}$ 的工程。然后做第三个 $\frac{1}{4}$ 工程之前又解雇了 $100$ 位工人，所以完成第三个 $\frac{1}{4}$ 的工程时，工程进度更为落后。假设每位工人的工作能力都一样，试问在完成了全部工程的第三个 $\frac{1}{4}$ 之后，除了现有的 $800$ 位工人外，在最后 $\frac{1}{4}$ 的工程至少应增加多少位工人，才能使得整个工程在最初预定的时间内或提前完成？
【难度】
【出处】
2004年第22届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
766
【解析】
选取一个单位时间，使得这项工程在 $4$ 个单位时间内按计划完成。第一阶段的工程在一个单位时间内完成。第二个阶段工程的工人只有完成第一阶段工程的工人的 $\frac{9}{10}$，因此它将在 $\frac{10}{9}$ 个单位时间内完成。对于第三阶段的工程，工作的工人只有完成第一个阶段的工程的工人的 $\frac{4}{5}$，因此它将在 $\frac{5}{4}$ 个单位时间内完成。所以只剩下 $4-\left(1+\frac{10}{9}+\frac{5}{4} \right)=\frac{23}{36}$ 个单位时间要完成最后一个阶段的工程。为按计划完成工程，需要的工人至少是第一阶段工程所需工人的 $\frac{36}{23}$，即 $\frac{36}{23}\times1000=1565\frac{5}{23}$ 人，由于人数必须是整数，故至少需要 $1566$ 人。在第三阶段末有 $800$ 位工人，因此需要再增加 $1566-800=766$ 位工人
答案
解析
备注
