考虑一串 $n$ 个 $7$：$\underbrace{777\ldots 77}_{n7}$，在这些 $7$ 当中插入加号“+”，形成一个算式。例如 $7+77+777+7+7=875$，即是在八个 $7$ 中插入“+”运算后而得。试问有多少个这样的 $n$，可在 $n$ 个 $7$ 中插入“+”，使运算后的值为 $7000$？
【难度】
【出处】
2004年第22届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
108
【解析】
据题意可知 $7000$ 是在 $n$ 个一连串的 $7$ 当中插入“+”运算后所得的结果，设它是 $x$ 个 $7$，$y$ 个 $77$ 与 $z$ 个 $777$ 的和，其中 $x$，$y$，$z$ 是非负整数。那么有 $7x+77y+777z=7000$（即 $x+11y+111z=1000$），$x+2y+3z=n$ 。
从上面两式中消去 $x$ 得到 $9y+108z=1000-n$，即 $n=1000-9\left( y+12z\right)$ 。因此不可能有超过 $1000$ 个一连串的 $7$，使得它们的和是 $7000$，且当有 $9$ 个 $777$ 和 $1$ 个 $7$ 时出现 $7$ 的次数最少，故 $28\leqslant n\leqslant 1000$，因此 $0\leqslant y\leqslant 108$ 。故 $n$ 的可能值的个数等于 $y+12z$ 在 $0$ 至 $108$ 之间可能取到的值的个数。
注意到 $11y+111z=1000-x\le1000$，故 $y\leqslant 90-10z+\frac{10-z}{11}$ 。由于 $0\leqslant z\leqslant 9$，故 $y\leqslant 90-10z$ 。
另一方面，当 $0\leqslant z\leqslant 9$，$0\leqslant y\leqslant 90-10z$ 时，
我们有 $x=1000-11y-111z=11\left(90-10z-y \right)+\left( 10-z \right)$ 是一个正数，因此当 $z$ 需要满足的充要条件为 $0\leqslant z\leqslant 9$，$0\leqslant y\leqslant 90-10z$ 。 因此当 $z$ 取定后，$y+12z$ 可取从 $12z$ 到 $90+2z$ 之间的任一整数，故 $y+12z$ 的取值范围为 $0$ 至 $108$ 之间除 $107$ 之外的所有整数，因此 $n$ 的所有可能值有 $108$ 个。
从上面两式中消去 $x$ 得到 $9y+108z=1000-n$，即 $n=1000-9\left( y+12z\right)$ 。因此不可能有超过 $1000$ 个一连串的 $7$，使得它们的和是 $7000$，且当有 $9$ 个 $777$ 和 $1$ 个 $7$ 时出现 $7$ 的次数最少，故 $28\leqslant n\leqslant 1000$，因此 $0\leqslant y\leqslant 108$ 。故 $n$ 的可能值的个数等于 $y+12z$ 在 $0$ 至 $108$ 之间可能取到的值的个数。
注意到 $11y+111z=1000-x\le1000$，故 $y\leqslant 90-10z+\frac{10-z}{11}$ 。由于 $0\leqslant z\leqslant 9$，故 $y\leqslant 90-10z$ 。
另一方面，当 $0\leqslant z\leqslant 9$，$0\leqslant y\leqslant 90-10z$ 时，
我们有 $x=1000-11y-111z=11\left(90-10z-y \right)+\left( 10-z \right)$ 是一个正数，因此当 $z$ 需要满足的充要条件为 $0\leqslant z\leqslant 9$，$0\leqslant y\leqslant 90-10z$ 。 因此当 $z$ 取定后，$y+12z$ 可取从 $12z$ 到 $90+2z$ 之间的任一整数，故 $y+12z$ 的取值范围为 $0$ 至 $108$ 之间除 $107$ 之外的所有整数，因此 $n$ 的所有可能值有 $108$ 个。
答案
解析
备注
