正整数 $N$ 只有三个真因子，且每个真因子都小于50。问这样的 $N$ 一共有多少个（$N$ 的所有真因子就是除 $N$ 本身外的其他因子）？
【难度】
【出处】
2005年第23届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
109
【解析】
正整数 $N$ 只有三个真因子，故它只有四个因子，有两种情况。
情况1：$N={{P}_{1}}{{P}_{2}}$，其中 ${{P}_{1}} {{P}_{2}}$ 为互异的素数，这时 $N$ 的真因子为 $1$，${{P}_{1}},{{P}_{2}}$，根据题目要求，必须有 ${{P}_{1}}<50$，${{P}_{2}}<50$ 。由于小于50的素数有15个，所以这样的 $N$ 有 $C_{15}^{2}=105$ 个。
情况2：$N={{P}^{3}}$，其中 $P$ 为素数，这时 $N$ 的真因子为1，$P$，${{P}^{2}}$，由条件知必须有且 ${{P}^{2}}50$，所以 $P$ 只能是2，3，5，7，这样的 $N$ 只有4个。
综上所述，满足条件的 $N$ 有 $105+4=109$ 个。
情况1：$N={{P}_{1}}{{P}_{2}}$，其中 ${{P}_{1}} {{P}_{2}}$ 为互异的素数，这时 $N$ 的真因子为 $1$，${{P}_{1}},{{P}_{2}}$，根据题目要求，必须有 ${{P}_{1}}<50$，${{P}_{2}}<50$ 。由于小于50的素数有15个，所以这样的 $N$ 有 $C_{15}^{2}=105$ 个。
情况2：$N={{P}^{3}}$，其中 $P$ 为素数，这时 $N$ 的真因子为1，$P$，${{P}^{2}}$，由条件知必须有且 ${{P}^{2}}50$，所以 $P$ 只能是2，3，5，7，这样的 $N$ 只有4个。
综上所述，满足条件的 $N$ 有 $105+4=109$ 个。
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