三只聪明的猴子分一堆香蕉，第一只猴子从这堆香蕉中取出一些，自己留下所取出香蕉的 $\frac{3}{4}$，并将所取出香蕉中剩下的平分给另外两只猴子。第二只猴子从剩余的香蕉中取出一些，自己留下所取出香蕉的 $\frac{1}{4}$，并将所取出的香蕉中剩下的平分给另外两只猴子。第三只猴子从剩余的香蕉中取出一些，自己留下所取出香蕉的 $\frac{1}{12}$，并将所取出香蕉剩下的平分给另外两只猴子。这三只猴子在完成这三次分香蕉的过程后，它们各得香蕉的总数比为 $3:2:1$ 。试问：这堆香蕉的总数至少是多少？
【难度】
【出处】
2004年第22届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
408
【解析】
设第一只猴子从这堆香蕉中取出 $8x$ 根香蕉，自己留下 $6x$ 根，然后给其他两只猴子各 $x$ 根；第二只猴子从这堆香蕉中取出 $8y$ 根香蕉，自己留下 $2y$ 根，然后给其他两只猴子各 $3y$ 根；第三只猴子从这堆香蕉中取出 $24z$ 根香蕉，自己留下 $2z$ 根，然后给其他两只猴子各 $11z$ 根。显然 $x$，$y$，$z$ 都必须是整数。三只猴子所得香蕉的数目分别为 $6x+3y+11z x+2y+11z$ 和 $x+3y+2z$ 。由条件知这三个数之比为 $3:2:1$，故
$6x+3y+11z=3\left(x+3y+2z \right) x+2y+11z=2\left( x+3y+2z \right)$ 。
将这两个方程化简，得 $3x+5z=6y 7z=x+4y$ 。消去 $x$ 得 $9y=13z$，故可设 $y=13n z=9n$，其中 $n$ 是一个正整数。代回原方程得 $x=11n$ 。显然 $n$ 的最小值为 $1$，故这堆香蕉至少有 $11\times 8+13\times8+9\times 24=408$（根）。
$6x+3y+11z=3\left(x+3y+2z \right) x+2y+11z=2\left( x+3y+2z \right)$ 。
将这两个方程化简，得 $3x+5z=6y 7z=x+4y$ 。消去 $x$ 得 $9y=13z$，故可设 $y=13n z=9n$，其中 $n$ 是一个正整数。代回原方程得 $x=11n$ 。显然 $n$ 的最小值为 $1$，故这堆香蕉至少有 $11\times 8+13\times8+9\times 24=408$（根）。
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