方程 ${{2}^{333x-2}}+{{2}^{111x+2}}={{2}^{222x+1}}+1$ 有3个实根，它们的和为 $\frac{m}{n}$，其中 $m$，$n$ 是两个互素的正整数，求 $m+n$ 。
【难度】
【出处】
2005年第23届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
113
【解析】
令 $y={{2}^{111x}}$，则原方程可化为
$\frac{{{y}^{3}}}{4}+4y=2{{y}^{2}}+1$（23-1）
方程 $\left( 23-1 \right)$ 有3个根 ${{y}_{1}}$，${{y}_{2}}$，${{y}_{3}}$ 分别对应于 ${{2}^{111{{x}_{1}}}}$，${{2}^{111{{x}_{2}}}}$，${{2}^{111{{x}_{3}}}}$，其中 ${{x}_{1}}$，${{x}_{2}}$，${{x}_{3}}$ 是原方程的三个根。由韦达定理，${{y}_{1}}{{y}_{2}}y=-\frac{\frac{-1}{1}}{4}=4$，从而有
$2={{\log}_{2}}{{y}_{1}}{{y}_{2}}{{y}_{3}}{{\log }_{2}}{{y}_{1}}+{{\log}_{2}}{{y}_{2}}+{{\log }_{2}}{{y}_{3}}$
$={{\log}_{2}}{{2}^{111{{x}_{1}}}}+{{\log }_{2}}{{2}^{111{{x}_{2}}}}+{{\log}_{2}}{{2}^{111{{x}_{3}}}}$
$=111\left({{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}} \right)$ 。
因此 ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}=\frac{2}{111}$，从而有 $m=2$，$n=111$，$m+n=113$ 。
$\frac{{{y}^{3}}}{4}+4y=2{{y}^{2}}+1$（23-1）
方程 $\left( 23-1 \right)$ 有3个根 ${{y}_{1}}$，${{y}_{2}}$，${{y}_{3}}$ 分别对应于 ${{2}^{111{{x}_{1}}}}$，${{2}^{111{{x}_{2}}}}$，${{2}^{111{{x}_{3}}}}$，其中 ${{x}_{1}}$，${{x}_{2}}$，${{x}_{3}}$ 是原方程的三个根。由韦达定理，${{y}_{1}}{{y}_{2}}y=-\frac{\frac{-1}{1}}{4}=4$，从而有
$2={{\log}_{2}}{{y}_{1}}{{y}_{2}}{{y}_{3}}{{\log }_{2}}{{y}_{1}}+{{\log}_{2}}{{y}_{2}}+{{\log }_{2}}{{y}_{3}}$
$={{\log}_{2}}{{2}^{111{{x}_{1}}}}+{{\log }_{2}}{{2}^{111{{x}_{2}}}}+{{\log}_{2}}{{2}^{111{{x}_{3}}}}$
$=111\left({{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}} \right)$ 。
因此 ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}=\frac{2}{111}$，从而有 $m=2$，$n=111$，$m+n=113$ 。
答案
解析
备注
