正数数列 $\left\{ {{a}_{n}} \right\}$ 满足 ${{a}_{1}}=1$ 及 ${{a}_{9}}+{{a}_{10}}=646$ 。对所有的整数 $k\geqslant 1$，${{a}_{2k-1}} {{a}_{2k}} {{a}_{2k+1}}$ 成等比数列，${{a}_{2k}} {{a}_{2k+1}} {{a}_{2k+2}}$ 成等差数列。设 ${{a}_{n}}$ 为此数列中小于 $1000$ 的最大项，试求 $n+{{a}_{n}}$ 的值。
【难度】
【出处】
2004年第22届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
973
【解析】
不妨设 ${{a}_{2}}=r$，则由已知得 ${{a}_{3}}={{r}^{2}}$，${{a}_{4}}=r\left( 2r-1\right)$，${{a}_{5}}={{\left(2r-1 \right)}^{2}}$，等等。不难推出这个数列的通项公式为
${{a}_{2k+1}}={{\left( \left(k-1 \right)r-\left( k-1 \right) \right)}^{2}}$，
${{a}_{2k}}=\left( \left( k-1\right)r-\left( k-2 \right) \right)\left( kr-\left( k-1 \right) \right) ,k\in {{N}^{+}}$ 。
由已知得 ${{\left( 4r-3\right)}^{2}}+\left( 4r-3 \right)\left( 5r-4 \right)=646$，整理得 $\left( 36r+125 \right)\left(r-5 \right)=0$ 。由于数列的各项均为正，故 $r=5$ 。代入数列通项公式得
${{a}_{2k-1}}={{\left(4k-2 \right)}^{2}} {{a}_{2k}}=\left( 4k-3 \right)\left( 4k+1 \right),k\in {{N}^{+}}$ 。
由此可得 ${{a}_{16}}=29\times 33=957,{{a}_{17}}={{33}^{2}}=1089$ 。注意到 $\left\{ {{a}_{n}} \right\}$ 是递增数列；故此数更中小于 $1000$ 的最大项为 ${{a}_{16}}$，因此 $n+{{a}_{n}}=16+957=973$ 。
${{a}_{2k+1}}={{\left( \left(k-1 \right)r-\left( k-1 \right) \right)}^{2}}$，
${{a}_{2k}}=\left( \left( k-1\right)r-\left( k-2 \right) \right)\left( kr-\left( k-1 \right) \right) ,k\in {{N}^{+}}$ 。
由已知得 ${{\left( 4r-3\right)}^{2}}+\left( 4r-3 \right)\left( 5r-4 \right)=646$，整理得 $\left( 36r+125 \right)\left(r-5 \right)=0$ 。由于数列的各项均为正，故 $r=5$ 。代入数列通项公式得
${{a}_{2k-1}}={{\left(4k-2 \right)}^{2}} {{a}_{2k}}=\left( 4k-3 \right)\left( 4k+1 \right),k\in {{N}^{+}}$ 。
由此可得 ${{a}_{16}}=29\times 33=957,{{a}_{17}}={{33}^{2}}=1089$ 。注意到 $\left\{ {{a}_{n}} \right\}$ 是递增数列；故此数更中小于 $1000$ 的最大项为 ${{a}_{16}}$，因此 $n+{{a}_{n}}=16+957=973$ 。
答案
解析
备注
