一支军队的首领想把这一队人编成一个方阵，并且要求方阵中没有空缺位置。如果这队人排成一个正方形方阵，则剩下5个人不能排进去；如果他们排成一个长方形方阵，且每一行比每一列多7人，则刚好可以排完，问这一队人最多有多少人？
【难度】
【出处】
2005年第23届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
294
【解析】
由题目条件，可设正方形方阵每一行有 $n$ 个人，长方形方阵每一列有 $k$ 个人，每一行有 $k+7$ 个人，其中 $n$，$k$ 为正整数。由此可得 ${{n}^{2}}+5=k\left( k+7 \right)$ 。将此式两边同乘以4并配方得
$4{{n}^{2}}+69={{\left( 2k+7 \right)}^{2}}$ 。
因此
$\left( 2k+7+2n \right)\left( 2k+7-2n \right)=69$ 。
依题目要求，希望 ${{n}^{2}}+5=k\left( k+7 \right)$ 尽量大，故希望 $n$ 尽量大，即 $2k+7+2n$ 与 $2k+7-2n$ 2的差尽量大。因此可设 $2k+7+2n=69$，$2k+7-2n=1$，解得 $k=14$，$n=17$ 。因此这一队人最多有 ${{17}^{2}}+5=14\times21=294$ 人。
$4{{n}^{2}}+69={{\left( 2k+7 \right)}^{2}}$ 。
因此
$\left( 2k+7+2n \right)\left( 2k+7-2n \right)=69$ 。
依题目要求，希望 ${{n}^{2}}+5=k\left( k+7 \right)$ 尽量大，故希望 $n$ 尽量大，即 $2k+7+2n$ 与 $2k+7-2n$ 2的差尽量大。因此可设 $2k+7+2n=69$，$2k+7-2n=1$，解得 $k=14$，$n=17$ 。因此这一队人最多有 ${{17}^{2}}+5=14\times21=294$ 人。
答案
解析
备注
