一个长方体是由 $N$ 个体积为 $\text{1c}{{\text{m}}^{\text{3}}}$ 的正立方体面与面叠合粘在一起所形成的。设可以看到此长方体有共同点的三个面，且恰有 $231$ 个体积为 $\text{1c}{{\text{m}}^{\text{3}}}$ 的正立方体不能被看到。试求 $N$ 的最小可能值。
【难度】
【出处】
2004年第22届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
384
【解析】
设长方体的长、宽、高分别为 $p\text{cm}$，$q\text{cm}$，$r\text{cm}$，则看不见的正立方体所组成的长方体的长、宽、高分别为 $\left( p-1 \right)\text{cm}$、$\left( q-1 \right)\text{cm}$ 和 $\left( r-1 \right)\text{cm}$ 。因此 $\left( p-1 \right)\left( q-1\right)\left( r-1 \right)=231$ 。
注意到一共只有五种方法把 $231$ 写成三个正整数的乘积，即
$231=3\times7\times 11=1\times 3\times 77=1\times 7\times 33=1\times 11\times 24=1\times1\times 231$ 。
它们对应的长方体的长、宽、高分别 $4 8 12$；$4 78 2$；$2 8 34$；$2 12 22$；$2 2 232$（单位：$\text{cm}$）。它们的体积分别为 $\text{384c}{{\text{m}}^{\text{3}}}$，$\text{624c}{{\text{m}}^{\text{3}}}, \text{544c}{{\text{m}}^{\text{3}}},\text{528c}{{\text{m}}^{\text{3}}},\text{928c}{{\text{m}}^{\text{3}}}$ 。
因此 $N$ 的最小可能值为 $384$ 。
注意到一共只有五种方法把 $231$ 写成三个正整数的乘积，即
$231=3\times7\times 11=1\times 3\times 77=1\times 7\times 33=1\times 11\times 24=1\times1\times 231$ 。
它们对应的长方体的长、宽、高分别 $4 8 12$；$4 78 2$；$2 8 34$；$2 12 22$；$2 2 232$（单位：$\text{cm}$）。它们的体积分别为 $\text{384c}{{\text{m}}^{\text{3}}}$，$\text{624c}{{\text{m}}^{\text{3}}}, \text{544c}{{\text{m}}^{\text{3}}},\text{528c}{{\text{m}}^{\text{3}}},\text{928c}{{\text{m}}^{\text{3}}}$ 。
因此 $N$ 的最小可能值为 $384$ 。
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