试问：在 ${{2004}^{2004}}$ 的所有正因数中，有多少个数恰可被 $2004$ 个正整数整除？
【难度】
【出处】
2004年第22届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
54
【解析】
一个正整数 $N$ 是 ${{2004}^{2004}}$ 的因子，当且仅当 $N={{2}^{i}}{{3}^{j}}{{167}^{k}}$，其中 $0\leqslant i\leqslant 4008$，$0\leqslant j k\leqslant 2004$ 。而这样的数恰好有 $2004$ 个正整数因子当且仅当 $\left( i+1 \right)\cdot\left( j+1 \right)\left( k+1 \right)=2004$ 。因而满足条件的 $N$ 的个数等于乘积为 $2004$ 的有序三元正整数数组的个数。
注意到无序三元数组 $\left\{ 1002,2,1\right\}$，$\left\{668,3,1 \right\}$，$\left\{ 501,4,1 \right\}$，$\left\{ 334,6,1\right\}$，$\left\{334,3,2 \right\}$，$\left\{ 167,12,1 \right\}$，$\left\{ 167,6,2\right\}$ 和 $\left\{167,4,3 \right\}$ 中的每一个都有 $6$ 种不同的排列，无序三元数组 $\left\{ 2004,1,1\right\}$ 和 $\left\{501,2,2 \right\}$ 中的每一个都有 $3$ 种不同的排列，故满足条件的 $N$ 的总个数为 $6\times 8+3\times 2=54$ 。
注意到无序三元数组 $\left\{ 1002,2,1\right\}$，$\left\{668,3,1 \right\}$，$\left\{ 501,4,1 \right\}$，$\left\{ 334,6,1\right\}$，$\left\{334,3,2 \right\}$，$\left\{ 167,12,1 \right\}$，$\left\{ 167,6,2\right\}$ 和 $\left\{167,4,3 \right\}$ 中的每一个都有 $6$ 种不同的排列，无序三元数组 $\left\{ 2004,1,1\right\}$ 和 $\left\{501,2,2 \right\}$ 中的每一个都有 $3$ 种不同的排列，故满足条件的 $N$ 的总个数为 $6\times 8+3\times 2=54$ 。
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