试问：有多少个由不超过两个不同的数字组成的小于 $10000$ 的正整数？
【难度】
【出处】
2004年第22届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
927
【解析】
我们先计算出至少三个不同数字组成的小于10000的正整数的个数。由三个不同数字组成的三位正整数有 $9\times 9\times 8$ 个。恰好由三个不同数字组成的四位正整数有 $\text{C}_{\text{4}}^{\text{2}}\times9\times 9\times 8$ 个，这是因为两个相同数字的位置有 $\text{C}_{\text{4}}^{\text{2}}$ 种选择方法，出现在第一个位置的数字有9种，出现在其他两个位置的数字分别有 $9$ 种和 $8$ 种。恰好由四个不同数字组成的四位正整数有 $9\times 9\times 8\times 7$ 个。因此至少有三个不同数字组成的小于 $10000$ 的正整数有 $9\times 9\times8+\text{C}_{\text{4}}^{\text{2}}\times 9\times 9\times 8+9\times 9\times8\times 7$ $=14\times 9\times 9\times 8=9072$（个）。故由至多两个不同数字所组成的小于 $10000$ 的正整数有 $9999-9072=927$（个）。
答案
解析
备注
