圆中的一条弦与此圆的某一半径垂直，并过此半径的中点。这条弦将此圆分成两个区域，大区域与小区域面积之比为 $\frac{a\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }+b\sqrt{c}}{d\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-e\sqrt{f}}$，其中 $a b c d e f$ 均为正整数，$a$ 与 $e$ 互素，$e$ 与 $f$ 均不能被任何素数的平方所整除。试求乘积 $abcdef$ 除以 $1000$ 的余数。
【难度】
【出处】
2004年第22届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
592
【解析】
不失一般性，设该圆的半径为 $2$ 。则以这条弦的两个端点和圆心为顶点构成了一个顶角为 ${{120}^{\circ }}$ 的等腰三角形，该等腰三角形的面积是 $\sqrt{3}$，则显然大区域的面积等于圆面积的 $\frac{2}{3}$ 再加上该等腰三角形的面积，小区域的的面积等于圆面积的 $\frac{1}{3}$ 再减去该等腰三角开的面积。因此所求面积比为 $\frac{\frac{2}{3}\cdot4\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }+\sqrt{3}}{\frac{1}{3}\cdot 4\text{}\!\!\pi\!\!\text{ }-\sqrt{3}}=\frac{8\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }+3\sqrt{3}}{4\text{}\!\!\pi\!\!\text{ }-3\sqrt{3}}$，据题意得 $abcdef=8\cdot 3\cdot 3\cdot 4\cdot 3\cdot3=2592$，因此 $abcdef$ 除以 $1000$ 的余数为 $592$ 。
答案
解析
备注
