对每个正整数 $k$，用 ${{S}_{k}}$ 表示首项为1公差为 $k$ 的等差数列，例如，${{S}_{3}}$ 为1，4，7，…，问：有多少个 $k$ 值使得2005在 ${{S}_{k}}$ 中？
【难度】
【出处】
2005年第23届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
12
【解析】
易知等差数列 ${{S}_{K}}$ 恰包含所有与1模 $k$ 同余的正整数，由于2005在 ${{S}_{K}}$ 中，故 $k\left| 2004 \right.$ 。由于 $\text{2}00\text{4}={{\text{2}}^{2}}\cdot3\cdot 167$，故它有 $\left( 2+1\right)\left( 1+1 \right)\left( 1+1 \right)=12$ 因子，故满足要求的 $k$ 值有12个。
答案
解析
备注
