一个陶罐中有 $10$ 颗红色的糖果及 $10$ 颗蓝色的糖果。泰瑞先任取两颗糖果，接着玛丽在剩余的糖果中任取两颗，若不考虑所拿出糖果的先后顺序，两人所拿出糖果颜色组合相同的概率为 $\frac{m}{n}$，其中 $m n$ 为互素的正整数，试求 $m+n$ 的值。
【难度】
【出处】
2004年第22届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
441
【解析】
泰瑞和玛丽要得到相同颜色糖果的组合，他们必须选取全是红色或者全是蓝色的糖果，或者选取颜色不同的两个糖果。两人选取的全是红色糖果的概率为
$\frac{C_{10}^{2}C_{8}^{2}}{C_{20}^{2}C_{18}^{2}}=\frac{10\times9\times 8\times 7}{20\times 19\times 18\times 17}$
两人选取的全是蓝色糖果的概率是与此相等的。两人各自选取的是颜色不同的两个糖果的概率为
$\frac{{{10}^{2}}\cdot{{9}^{2}}}{C_{20}^{2}C_{18}^{2}}=\frac{{{10}^{2}}\times {{9}^{2}}\times4}{20\times 19\times 18\times 17}$
因此两人取到相同颜色组合的糖果的概率为
$2\cdot\frac{10\times 9\times 8\times 7}{20\times 19\times 18\times17}+\frac{{{10}^{2}}\times {{9}^{2}}\times 4}{20\times 19\times 18\times 17}$
$=\frac{10\times9\times 8\times \left( 14+45 \right)}{20\times 19\times 18\times17}=\frac{2\times 59}{19\times 17}=\frac{118}{323}$ 。
因此 $m+n=441$ 。
$\frac{C_{10}^{2}C_{8}^{2}}{C_{20}^{2}C_{18}^{2}}=\frac{10\times9\times 8\times 7}{20\times 19\times 18\times 17}$
两人选取的全是蓝色糖果的概率是与此相等的。两人各自选取的是颜色不同的两个糖果的概率为
$\frac{{{10}^{2}}\cdot{{9}^{2}}}{C_{20}^{2}C_{18}^{2}}=\frac{{{10}^{2}}\times {{9}^{2}}\times4}{20\times 19\times 18\times 17}$
因此两人取到相同颜色组合的糖果的概率为
$2\cdot\frac{10\times 9\times 8\times 7}{20\times 19\times 18\times17}+\frac{{{10}^{2}}\times {{9}^{2}}\times 4}{20\times 19\times 18\times 17}$
$=\frac{10\times9\times 8\times \left( 14+45 \right)}{20\times 19\times 18\times17}=\frac{2\times 59}{19\times 17}=\frac{118}{323}$ 。
因此 $m+n=441$ 。
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