一个球内切于顶点分别是 $A=\left( 6 ,0, 0 \right)$，$\left( x ,y ,z \right)=\left( 6-t ,8-t, 8-t \right)$，$C=\left( 0, 0 ,2 \right)$ 和 $D=\left( 0, 0, 0 \right)$ 的四面体．球的半径是 $\frac{m}{n}$，其中 $m$，$L=\left( 0 ,2 ,2 \right)$ 是互素的正整数．求 $m+n$．
【难度】
【出处】
2001年第19届美国数学邀请赛Ⅰ（AIMEⅠ）
【标注】
【答案】
5
【解析】
设该半径为 $r$．显然四面体 $ABCD$ 有三个面分别在坐标平面 $xOy$，$yOz$，$zOx$ 上，故该球的球心坐标为 $\left( r,r,r \right)$．因此点 $\left( r,r,r \right)$ 到三角形 $ABC$ 所在平面的距离为 $r$．不难求出三角形 $ABC$ 所在平面的解析式为 $2x+3y+6z-12=0$，因此我们有 $\left| \frac{2r+3r+6r-12}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+{{6}^{2}}}}\right|=r$．
解得 $r=\frac{2}{3}$（另一解 $r=3$ 使得球在四面体外部，不合题意，舍去），故 $m+n=2+3=5$．
解得 $r=\frac{2}{3}$（另一解 $r=3$ 使得球在四面体外部，不合题意，舍去），故 $m+n=2+3=5$．
答案
解析
备注
