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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
20958 5c6f5a6e210b280151d74973 高中 解答题 自招竞赛 八个半径为100的球体被放到一个水平的面上，每个球都与其相邻的两个球体相切，而它们的球心是一个正八边形的八个顶点．现将第九个球放在这个水平面上，使它与已放好的八个球均恰好相切．设第九个球的半径为 $a+b\sqrt{c}$，其中 $a$，$b$，$c$ 均为正整数，$c$ 不能被任何素数的平方整除，求 $a+b+c$． 2022-04-17 20:31:04
20957 5c6f5a83210b280151d7497f 高中 解答题 自招竞赛 设 $\vartriangle ABC$ 为等边三角形，$D$，$E$，$F$ 分别为边 $CB$，$CA$，$AB$ 的中点．点 $P$，$Q$，$R$ 分别在 $DE$，$EF$ 和 $FD$ 上，点 $P$，$Q$，$R$ 分别在 $CQ$，$AR$，$BP$ 上．若 $\frac{{{S}_{\vartriangle ABC}}}{{{S}_{\vartriangle PQR}}}=a+b\sqrt{c}$，其中 $a$，$b$，$c$ 为整数，$c$ 不能被任何素数的平方整除．求 ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}$． 2022-04-17 20:31:04
20956 5c6f5a77210b280151d74979 高中 解答题 自招竞赛 正方体的三条棱的 $AB$，$BC$ 和 $CD$，$AD$ 是体对角线．点 $P$，$Q$，$R$ 分别在 $AB$，$BC$，$CD$ 上，$AP=5$，$PB=15$，$BQ=15$，$CR=10$．那么，平面 $PQR$ 向各方向延伸后与正方体的交线组成的多边形的面积是多少？ 2022-04-17 20:31:04
20955 5c6f5a8b210b280151d74984 高中 解答题 自招竞赛 若 $\left\{ {{a}_{1}} {{a}_{2}} \cdots {{a}_{n}} \right\}$ 是一个实数集，且 ${{a}_{1}}<{{a}_{2}}<\cdots <{{a}_{n}}$，它的复合乘幂和被定义为
${{a}_{1}}\text{i}+{{a}_{2}}{{\text{i}}^{2}}+{{a}_{3}}{{\text{i}}^{3}}+\cdots +{{a}_{n}}{{\text{i}}^{n}}$，其中 ${{\text{i}}^{2}}=-1$．设 ${{S}_{n}}$ 表示数列 $\left\{ 1 ,2 ,\cdots, n \right\}$ 的所有非空子集的复合乘幂的总和．已知 ${{S}_{8}}=-176-64\text{i}$，${{S}_{9}}=p+q\text{i}$，其中 $p$，$q$ 均为整数，求 $\left| p \right|+\left| q \right|$．		 2022-04-17 20:30:04
20954 5c6f5a97210b280151d74989 高中 解答题 自招竞赛 有一个 $m\times n\times p$ 的长方体盒子，另有一个 $\left( m+2 \right)\times \left( n+2 \right)\times \left( p+2 \right)$ 的长方体盒子，其中 $m$，$n$，$p$ 均为正整数，$m\leqslant n\leqslant p$，并且前者的体积是后者体积的一半．求 $p$ 的最大可能值． 2022-04-17 20:30:04
20953 5c6f5aa0210b28015052739d 高中 解答题 自招竞赛 现将一组多米诺骨牌中的每一块均以一对有序的不同的正整数表示，并将这些骨牌以下列顺序排列：从第二块骨牌开始，每一块骨牌的 $x$ 坐标值均等于其前一块骨牌的 $y$ 坐标值．不存在表示为 $\left( i, j \right)$，$\left( j ,i \right)$ 的两块骨牌．设 ${{D}_{40}}$ 为一组坐标值不大于40的多米诺骨牌，求以此种方法排列的骨牌组 ${{D}_{40}}$ 的最大长度． 2022-04-17 20:30:04
20952 5c6f5a60210b280151d7496e 高中 解答题 自招竞赛 两位数学家每天早上都会抽空出来喝咖啡，他们每天都在早上9点至10点中的任一时刻只身到达自助餐厅，并呆上整整 $m$ 分钟．两人在自助餐厅里碰面的概率是 $40%$，令 $m=a-b\sqrt{c}$，其中 $a$，$b$，$c$ 为正整数，$c$ 不能被任何素数的平方整除．求 $a+b+c$． 2022-04-17 20:29:04
20951 5c6f62b7210b2801505273bb 高中 解答题 自招竞赛 求满足下列条件的最小素数：它是一个等差递增数列的第五项，且前四项均为素数． 2022-04-17 20:29:04
20950 5c6f62c1210b2801505273c0 高中 解答题 自招竞赛 平行四边形的顶点坐标为 $\left( 10,45 \right)$，$\left( 10,114 \right)$，$\left( 28,153 \right)$ 和 $\left( 28,84 \right)$．一条通过原点的直线将此平行四边形分成两个全等的多边形，此直线的斜率为 $\frac{m}{n}$，其中 $m$，$n$ 为互素的正整数．求 $m+n$ 的值． 2022-04-17 20:29:04
20949 5c6f62ce210b280151d749b3 高中 解答题 自招竞赛 求出所有使 ${{n}^{2}}-19n+99$ 的值为完全平方数的正整数 $n$ 的和． 2022-04-17 20:28:04
20948 5c6f62db210b280151d749b8 高中 解答题 自招竞赛 如图所示的两个正方形有同一个中心 $O$，且它们的边长均为1，线段 $AB$ 长为 $\frac{43}{99}$，八边形 $ABCDEFGH$ 面积为 $\frac{m}{n}$，其中 $m$，$n$ 为互素的正整数，求 $m+n$． 2022-04-17 20:28:04
20947 5c6f62e4210b280151d749bd 高中 解答题 自招竞赛 对任意正整数 $x$，设 $S\left( x \right)$ 为 $x$ 的所有数位上的数字之和，令 $T\left( x \right)$ 为 $\left| S\left( x+2 \right)-S\left( x \right) \right|$．例如，$T\left( 199 \right)=\left| S\left( 201 \right)-S\left( 199 \right) \right|=\left| 3-19 \right|=16$．问 $T\left( x \right)$ 有多少个不超过1999的值？ 2022-04-17 20:27:04
20946 5c6f62eb210b2801505273c7 高中 解答题 自招竞赛 第一象限坐标平面上的一个变换使得每个点 $\left( x ,y \right)$ 映射成为 $\left( \sqrt{x} ,\sqrt{y} \right)$．四边形 $ABCD$ 各顶点的坐标为 $A\left( 900, 300 \right)$，$B\left( 1800, 600 \right)$，$C\left( 600, 1800 \right)$，$D\left( 300 ,900 \right)$．用 $k$ 表示四边形 $ABCD$ 的映象所围成的图形的面积．求不超过 $k$ 的最大整数． 2022-04-17 20:27:04
20945 5c6f62f4210b2801505273cc 高中 解答题 自招竞赛 有1000个开关，每个开关有 $A$，$B$，$C$，$D$ 4个位置，当每个开关位置改变时只可能从 $A$ 到 $B$，从 $B$ 到 $C$，从 $C$ 到 $D$ 或从 $D$ 到 $A$．开始时，每个开关都在位置 $A$ 上，这1000个开关上都用不同的整数 ${{2}^{x}}{{3}^{y}}{{5}^{z}}$ 标号，其中 $x$，$y$，$z$ 在 $0\tilde{ }9$ 中取值．
在有1000个步骤的操作中，到第 $i$ 个步骤时，第 $i$ 个开关位置前进一位，其他标号能整除第 $i$ 个开关标号的开关也前进一位．问当这1000个步骤执行完时，有多少个开关处在位置 $A$ 上？		 2022-04-17 20:26:04
20944 5c6f62fd210b2801505273d2 高中 解答题 自招竞赛 设 $T$ 为位于平面 $x+y+z=1$ 上的三元有序实数组 $\left( x, y, z \right)$ 的集合，其中 $x ,y ,z\geqslant 0$．当 $x\geqslant a$，$y\geqslant b$，$z\geqslant c$ 中恰有两个成立时，我们称 $\left( x ,y ,z \right)$ 支撑 $\left( a, b, c \right)$．令 $S$ 为 $T$ 中支撑 $\left( \frac{1}{2} ,\frac{1}{3}, \frac{1}{6} \right)$ 的三元组组成的集合，$S$，$T$ 的面积比为 $\frac{m}{n}$，其中 $m$，$n$ 为互素的正整数，求 $m+n$． 2022-04-17 20:26:04
20943 5c6f6317210b2801505273de 高中 解答题 自招竞赛 平面上给出10个点，任何三点都不共线，作4条线段，每条线段连接平面上的两个点．这些线段是任选的，且这些线段都有相同的被选的可能性．由这些线段中的某三条线段构成以给定10点中三点为顶点的三角形的概率为 $\frac{m}{n}$，其中 $m$，$n$ 为互素的正整数．求 $m+n$． 2022-04-17 20:26:04
20942 5c6f632e210b2801505273e5 高中 解答题 自招竞赛 $\vartriangle ABC$ 的内切圆与 $AB$ 边在 $P$ 点相切，圆的半径为21，已知 $AP=23$，$PB=27$，求此三角形的周长． 2022-04-17 20:25:04
20941 5c6f6335210b280151d749d7 高中 解答题 自招竞赛 40个队参加比赛，每个队与任何一个队只比一次，没有出现平局．每个队均有 $50%$ 的概率战胜对手，没有两个队赢相同场数的概率为 $\frac{m}{n}$，这里 $m$，$n$ 为互素的正整数，求 ${{\log }_{2}}n$． 2022-04-17 20:25:04
20940 5c6f6346210b280151d749dd 高中 解答题 自招竞赛 坐标纸上一个三角形顶点的坐标分别为 $\left( 0,0 \right)$，$\left( 34,0 \right)$ 及 $\left( 16,24 \right)$，它的中点三角形的顶点是其各边的中点，沿这个中点三角形的三边将大三角形折起形成一个三棱锥．问该三棱锥的体积是多大？ 2022-04-17 20:24:04
20939 5c6f8ab3210b280151d749ff 高中 解答题 自招竞赛 求最小的正整数 $n$，使得不论将 ${{10}^{n}}$ 如何表示为两个正整数的乘积，这两个正整数中，至少有一个正整数包含数字0． 2022-04-17 20:24:04
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