方程 $2000{{x}^{6}}+10{{x}^{5}}+10{{x}^{3}}+x-2=0$ 恰有两个根，其中一个是 $\frac{m+\sqrt{n}}{r}$，这里 $m$，$n$，$r$ 是整数，$m$ 与 $r$ 互素，$r>0$．求 $m+n+r$．
【难度】
【出处】
2000年第18届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
200
【解析】
由于 $2000{{x}^{6}}+100{{x}^{5}}+10{{x}^{3}}+x-2$
$=x\left(100{{x}^{4}}+10{{x}^{2}}+1 \right)+2\left( 10{{x}^{2}}-1 \right)\left(100{{x}^{4}}+10{{x}^{2}}+1 \right)$．
对于实数 $x$，显然有 $100{{x}^{4}}+10{{x}^{2}}+1>0$，故原方程的实根 $x$ 必须满足 $x+2\left(10{{x}^{2}}-1 \right)=0$．
化简成标准二次方程，得 $20{{x}^{2}}+x-2=0$，由一元二次方程求根公式得 $x=\frac{-1\pm\sqrt{161}}{40}$．
故所求的 $m=-1$，$n=161$，$r=40$，由此得 $m+n+r=200$．
$=x\left(100{{x}^{4}}+10{{x}^{2}}+1 \right)+2\left( 10{{x}^{2}}-1 \right)\left(100{{x}^{4}}+10{{x}^{2}}+1 \right)$．
对于实数 $x$，显然有 $100{{x}^{4}}+10{{x}^{2}}+1>0$，故原方程的实根 $x$ 必须满足 $x+2\left(10{{x}^{2}}-1 \right)=0$．
化简成标准二次方程，得 $20{{x}^{2}}+x-2=0$，由一元二次方程求根公式得 $x=\frac{-1\pm\sqrt{161}}{40}$．
故所求的 $m=-1$，$n=161$，$r=40$，由此得 $m+n+r=200$．
答案
解析
备注
